题目
3.求由 (int )_(0)^y(e)^tdt+(int )_(0)^xcos tdt=0 所确定的隐函数对x的导数 dfrac (dy)(dx) .
题目解答
答案
解析
步骤 1：对给定的方程进行求导
给定方程为 ${\int }_{0}^{y}{e}^{t}dt+{\int }_{0}^{x}\cos tdt=0$。为了求出隐函数对x的导数 $\dfrac {dy}{dx}$，我们需要对这个方程两边同时对x求导。
步骤 2：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，对于函数 $f(t)$，有 ${\int }_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$，其中 $F(t)$ 是 $f(t)$ 的一个原函数。因此，${\int }_{0}^{y}{e}^{t}dt={e}^{y}-{e}^{0}={e}^{y}-1$，${\int }_{0}^{x}\cos tdt=\sin x-\sin 0=\sin x$。
步骤 3：对求导后的方程进行简化
对原方程两边同时对x求导，得到 ${e}^{y}\dfrac {dy}{dx}+\cos x=0$。解这个方程，得到 $\dfrac {dy}{dx}=-{e}^{-y}\cos x$。
给定方程为 ${\int }_{0}^{y}{e}^{t}dt+{\int }_{0}^{x}\cos tdt=0$。为了求出隐函数对x的导数 $\dfrac {dy}{dx}$，我们需要对这个方程两边同时对x求导。
步骤 2：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，对于函数 $f(t)$，有 ${\int }_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$，其中 $F(t)$ 是 $f(t)$ 的一个原函数。因此，${\int }_{0}^{y}{e}^{t}dt={e}^{y}-{e}^{0}={e}^{y}-1$，${\int }_{0}^{x}\cos tdt=\sin x-\sin 0=\sin x$。
步骤 3：对求导后的方程进行简化
对原方程两边同时对x求导，得到 ${e}^{y}\dfrac {dy}{dx}+\cos x=0$。解这个方程，得到 $\dfrac {dy}{dx}=-{e}^{-y}\cos x$。