题目
设薄片型物体S是圆锥面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 被柱面 ^2=2x 割下的有限部分,其上任一-|||-点的密度为 mu (x,y,z)=9sqrt ({x)^2+(y)^2+(z)^2} 记圆锥面与柱面的交线为C.-|||-(1)求C在xOy平面上的投影曲线的方程;-|||-(2)求S的质量M.
题目解答
答案
\\cases{x^{2}+y^{2}=2 x\\crz=0}(2)64.
解析
步骤 1：确定交线C的方程
圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和柱面 $z^2=2x$ 的交线C的方程可以通过联立这两个方程来确定。将圆锥面方程代入柱面方程中，得到：
$$
(\sqrt{x^2+y^2})^2 = 2x
$$
化简得到：
$$
x^2 + y^2 = 2x
$$
步骤 2：求C在xOy平面上的投影曲线的方程
由于交线C在xOy平面上的投影曲线的方程就是将z=0代入交线C的方程中，因此投影曲线的方程为：
$$
x^2 + y^2 = 2x, z=0
$$
步骤 3：求S的质量M
S的质量M可以通过积分密度函数 $\mu(x,y,z)$ 来计算。由于S是圆锥面被柱面割下的有限部分，因此需要在S上进行积分。首先，将密度函数 $\mu(x,y,z)$ 代入，得到：
$$
\mu(x,y,z) = 9\sqrt{x^2+y^2+z^2}
$$
由于S是圆锥面被柱面割下的有限部分，因此需要在S上进行积分。在柱坐标系下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=r$，$dS=rdrd\theta$，因此：
$$
M = \int_{S} \mu(x,y,z)dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} 9\sqrt{r^2+r^2}rdrd\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} 9\sqrt{2}r^2drd\theta
$$
计算积分得到：
$$
M = 9\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2dr = 9\sqrt{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{(\sqrt{2})^3}{3} = 64
$$
圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和柱面 $z^2=2x$ 的交线C的方程可以通过联立这两个方程来确定。将圆锥面方程代入柱面方程中，得到：
$$
(\sqrt{x^2+y^2})^2 = 2x
$$
化简得到：
$$
x^2 + y^2 = 2x
$$
步骤 2：求C在xOy平面上的投影曲线的方程
由于交线C在xOy平面上的投影曲线的方程就是将z=0代入交线C的方程中，因此投影曲线的方程为：
$$
x^2 + y^2 = 2x, z=0
$$
步骤 3：求S的质量M
S的质量M可以通过积分密度函数 $\mu(x,y,z)$ 来计算。由于S是圆锥面被柱面割下的有限部分，因此需要在S上进行积分。首先，将密度函数 $\mu(x,y,z)$ 代入，得到：
$$
\mu(x,y,z) = 9\sqrt{x^2+y^2+z^2}
$$
由于S是圆锥面被柱面割下的有限部分，因此需要在S上进行积分。在柱坐标系下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=r$，$dS=rdrd\theta$，因此：
$$
M = \int_{S} \mu(x,y,z)dS = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} 9\sqrt{r^2+r^2}rdrd\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} 9\sqrt{2}r^2drd\theta
$$
计算积分得到：
$$
M = 9\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2dr = 9\sqrt{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{(\sqrt{2})^3}{3} = 64
$$