曲面 x cos z + y cos x - (pi)/(2) z = (pi)/(2) 在点 ((pi)/(2), 1 - (pi)/(2), 0) 处的切平面方程为（）。A. x - z = pi - 1B. x - y = pi - 1C. x - y = (pi)/(2)D. x - z = (pi)/(2)

步骤 1：定义函数
定义函数 $F(x, y, z) = x \cos z + y \cos x - \frac{\pi}{2}z - \frac{\pi}{2}$，该函数表示给定的曲面方程。
步骤 2：计算梯度
计算函数 $F(x, y, z)$ 的梯度 $\nabla F$，即对 $F$ 关于 $x, y, z$ 的偏导数： \[ \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = \left( \cos z - y \sin x, \cos x, -x \sin z - \frac{\pi}{2} \right). \]
步骤 3：求梯度在给定点的值
在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1 - \frac{\pi}{2}, 0\right)$ 处求梯度 $\nabla F$ 的值： \[ \nabla F\left(\frac{\pi}{2}, 1 - \frac{\pi}{2}, 0\right) = \left( \cos 0 - \left(1 - \frac{\pi}{2}\right) \sin \frac{\pi}{2}, \cos \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \sin 0 - \frac{\pi}{2} \right) = \left( \frac{\pi}{2}, 0, -\frac{\pi}{2} \right). \]
步骤 4：写出切平面方程
根据梯度 $\nabla F$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1 - \frac{\pi}{2}, 0\right)$ 处的值，写出切平面方程： \[ \frac{\pi}{2} \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 0 \left(y - \left(1 - \frac{\pi}{2}\right)\right) - \frac{\pi}{2} \left(z - 0\right) = 0 \implies x - z = \frac{\pi}{2}. \]