11.(单选题5.0分)-|||-设 f(x)= { ,xneq 0 0,x=0 . ,则f(x)在 x=0 处 ()-|||-A 极限存在但不连续;-|||-B 连续但不可导;-|||-C 极限不存在;-|||-D 可导.

本题考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断。核心思路是：

1. 连续性：验证当$x \to 0$时，函数的极限值是否等于$f(0)$；
2. 可导性：通过导数定义计算$f'(0)$是否存在。

关键点：

• 利用夹逼定理判断极限；
• 处理含振荡因子$\cos(1/x)$的极限时，需注意其有界性。

连续性分析

当$x \neq 0$时，$f(x) = x^2 \cos \dfrac{1}{x}$，而$x=0$时$f(0)=0$。
计算$x \to 0$时的极限：
$\lim_{x \to 0} x^2 \cos \dfrac{1}{x}$
由于$\cos \dfrac{1}{x}$的取值范围为$[-1,1]$，故：
$-|x^2| \leq x^2 \cos \dfrac{1}{x} \leq |x^2|$
当$x \to 0$时，$|x^2| \to 0$，由夹逼定理得：
$\lim_{x \to 0} x^2 \cos \dfrac{1}{x} = 0 = f(0)$
因此，$f(x)$在$x=0$处连续。

可导性分析

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2 \cos \dfrac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \cos \dfrac{1}{h}$
由于$|\cos \dfrac{1}{h}| \leq 1$，故：
$|h \cos \dfrac{1}{h}| \leq |h| \to 0 \quad (h \to 0)$
由夹逼定理得：
$\lim_{h \to 0} h \cos \dfrac{1}{h} = 0$
因此，$f'(0) = 0$，即$f(x)$在$x=0$处可导。