40、填空 设函数z=y^sinx，则dz|_(((pi)/(2),1))=（）. （2分）

为了求函数 $z = y^{\sin x}$ 在点 $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ 处的全微分 $dz$，我们首先需要计算 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，然后在点 $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ 处求值。 1. 计算 $z$ 关于 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$: $z = y^{\sin x}$ 两边取自然对数: $\ln z = \ln (y^{\sin x}) = \sin x \ln y$ 对 $x$ 求偏导数: $\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} = \cos x \ln y$ 因此: $\frac{\partial z}{\partial x} = z \cos x \ln y = y^{\sin x} \cos x \ln y$ 2. 计算 $z$ 关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$: $z = y^{\sin x}$ 对 $y$ 求偏导数: $\frac{\partial z}{\partial y} = \sin x \cdot y^{\sin x - 1}$ 3. 在点 $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ 处求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的值: $\frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)} = 1^{\sin \frac{\pi}{2}} \cos \frac{\pi}{2} \ln 1 = 1 \cdot 0 \cdot 0 = 0$ $\frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)} = \sin \frac{\pi}{2} \cdot 1^{\sin \frac{\pi}{2} - 1} = 1 \cdot 1^{1 - 1} = 1 \cdot 1^0 = 1$ 4. 计算全微分 $dz$ 在点 $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ 处的值: $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$ 代入 $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ 处的偏导数值: $dz \bigg|_{\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)} = 0 \cdot dx + 1 \cdot dy = dy$ 因此，全微分 $dz \bigg|_{\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)}$ 的值为 $\boxed{dy}$。