函数 f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x 的极大值点是(）。 A. (1,0)B. (1,2)C. (-3,2)D. (-3,0)

为了找到函数 $ f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x $ 的极大值点，我们需要遵循以下步骤： 1. **找到偏导数并设为零以找到临界点。** 2. **使用二阶导数测试确定临界点的性质。** ### 第1步：找到偏导数 函数 $ f(x, y) $ 关于 $ x $ 的偏导数为： \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 6x - 9 \] 函数 $ f(x, y) $ 关于 $ y $ 的偏导数为： \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -3y^2 + 6y \] 将偏导数设为零以找到临界点： \[ f_x = 3x^2 + 6x - 9 = 0 \] \[ f_y = -3y^2 + 6y = 0 \] 解 $ f_x = 0 $： \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[ (x + 3)(x - 1) = 0 \] \[ x = -3 \quad \text{或} \quad x = 1 \] 解 $ f_y = 0 $： \[ -3y^2 + 6y = 0 \] \[ -3y(y - 2) = 0 \] \[ y = 0 \quad \text{或} \quad y = 2 \] 临界点为： \[ (-3, 0), (-3, 2), (1, 0), (1, 2) \] ### 第2步：使用二阶导数测试 我们需要计算二阶偏导数： \[ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x + 6 \] \[ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -6y + 6 \] \[ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0 \] 二阶导数测试的判别式 $ D $ 为： \[ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = f_{xx} f_{yy} \] 在每个临界点处评估 $ D $ 和 $ f_{xx} $： 1. **在 $ (-3, 0) $ 处：** \[ f_{xx}(-3, 0) = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12 \] \[ f_{yy}(-3, 0) = -6(0) + 6 = 6 \] \[ D(-3, 0) = (-12)(6) = -72 \] 由于 $ D < 0 $，$ (-3, 0) $ 是一个鞍点。 2. **在 $ (-3, 2) $ 处：** \[ f_{xx}(-3, 2) = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12 \] \[ f_{yy}(-3, 2) = -6(2) + 6 = -12 + 6 = -6 \] \[ D(-3, 2) = (-12)(-6) = 72 \] 由于 $ D > 0 $ 且 $ f_{xx} < 0 $，$ (-3, 2) $ 是一个局部极大值点。 3. **在 $ (1, 0) $ 处：** \[ f_{xx}(1, 0) = 6(1) + 6 = 6 + 6 = 12 \] \[ f_{yy}(1, 0) = -6(0) + 6 = 6 \] \[ D(1, 0) = (12)(6) = 72 \] 由于 $ D > 0 $ 且 $ f_{xx} > 0 $，$ (1, 0) $ 是一个局部极小值点。 4. **在 $ (1, 2) $ 处：** \[ f_{xx}(1, 2) = 6(1) + 6 = 6 + 6 = 12 \] \[ f_{yy}(1, 2) = -6(2) + 6 = -12 + 6 = -6 \] \[ D(1, 2) = (12)(-6) = -72 \] 由于 $ D < 0 $，$ (1, 2) $ 是一个鞍点。 ### 结论 函数 $ f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x $ 的唯一局部极大值点是 $ (-3, 2) $。 因此，正确答案是： \[ \boxed{C} \]