当x→0时，f(x)=e^-x^(2+2x^3)-1与g(x)=x^2比较是（）A. f(x)是g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是g(x)低阶的无穷小量C. f(x)与g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)与g(x)是等价无穷小量

考查要点：本题主要考查无穷小量阶的比较，涉及泰勒展开的应用及等价无穷小的判断。

解题核心思路：

1. 泰勒展开：将指数函数$e^{-x^2 + 2x^3}$展开到足够阶数，保留主部。
2. 比较主部：通过展开式确定$f(x)$的主部，并与$g(x)=x^2$的主部对比。
3. 极限判断：计算$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$，根据极限值判断阶数关系及等价性。

破题关键点：

• 展开阶数：指数函数的展开需保留到二次项，三次项可忽略。
• 主部系数：主部的系数差异决定是否为等价无穷小。

步骤1：泰勒展开指数函数
当$x \to 0$时，指数函数$e^y$的泰勒展开为：
$e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2} + \cdots$
令$y = -x^2 + 2x^3$，由于$y$的高阶项（如$x^4$）可忽略，展开到一阶得：
$e^{-x^2 + 2x^3} \approx 1 + (-x^2 + 2x^3).$

步骤2：化简$f(x)$
$f(x) = e^{-x^2 + 2x^3} - 1 \approx (1 - x^2 + 2x^3) - 1 = -x^2 + 2x^3.$

步骤3：比较主部

• $f(x)$的主部为$-x^2$，对应阶数为$x^2$。
• $g(x) = x^2$的主部为$x^2$，阶数相同。

步骤4：判断等价性
计算极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + 2x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0} (-1 + 2x) = -1.$
结论：

• 极限存在且非零，说明$f(x)$与$g(x)$同阶。
• 极限值不为1，说明两者不是等价无穷小。