题目

52.【判断题】(1.5分) ln x 在 x arrow 0^+ 时是无穷小量（）。bigcircA.正确bigcircB.错误

52.【判断题】(1.5分) $\ln x$ 在 $x \rightarrow 0^{+}$ 时是无穷小量（）。 $\bigcirc$A.正确 $\bigcirc$B.错误

题目解答

答案

为了判断 $\ln x$ 在 $x \rightarrow 0^+$ 时是否是无穷小量，我们需要分析当 $x$ 从右侧接近 0 时 $\ln x$ 的行为。 1. **理解 $\ln x$ 的定义：** 自然对数函数，$\ln x$，对于 $x > 0$ 被定义。它表示 $e$（欧拉数，大约等于 2.71828）需要被提升到的幂次，以得到 $x$。数学上，如果 $y = \ln x$，那么 $e^y = x$。 2. **分析 $x \rightarrow 0^+$ 时的 $\ln x$：** 当 $x$ 从右侧接近 0 时，$e^y$ 必须接近 0。由于 $e^y$ 对于任何实数 $y$ 总是正的，并且 $e^y$ 随着 $y$ 趋向于 $-\infty$ 而接近 0，因此 $y$ 必须趋向于 $-\infty$。因此，$\ln x \rightarrow -\infty$ 当 $x \rightarrow 0^+$。 3. **无穷小量的定义：** 如果一个函数 $f(x)$ 在 $x \rightarrow a$ 时满足 $f(x) \rightarrow 0$，那么 $f(x)$ 在 $x \rightarrow a$ 时是无穷小量。在我们的情况下，$f(x) = \ln x$ 和 $a = 0^+$。由于 $\ln x \rightarrow -\infty$ 当 $x \rightarrow 0^+$，$\ln x$ 并不接近 0。 4. **结论：** 由于 $\ln x$ 在 $x \rightarrow 0^+$ 时并不接近 0，$\ln x$ 在 $x \rightarrow 0^+$ 时不是无穷小量。 因此，正确答案是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查对无穷小量定义的理解，以及自然对数函数$\ln x$在$x \rightarrow 0^+$时的极限行为的掌握。

解题核心思路：

  1. 无穷小量的定义是：当自变量趋近于某值时，函数值趋近于$0$。
  2. 分析$\ln x$在$x \rightarrow 0^+$时的极限值，判断其是否满足无穷小量的条件。

破题关键点：

  • 明确$\ln x$的单调性：$\ln x$在定义域$(0, +\infty)$上是单调递减函数。
  • 极限计算：当$x$趋近于$0^+$时，$\ln x$的值趋向于$-\infty$，而非$0$。

  1. 无穷小量的定义
    若函数$f(x)$在$x \rightarrow a$时满足$\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = 0$，则称$f(x)$是$x \rightarrow a$时的无穷小量。

  2. 分析$\ln x$在$x \rightarrow 0^+$时的极限

    • 当$x$逐渐接近$0^+$时，$\ln x$的值会越来越小。例如：
      • 当$x = 0.1$时，$\ln 0.1 \approx -2.3026$；
      • 当$x = 0.01$时，$\ln 0.01 \approx -4.6052$。
    • 随着$x \rightarrow 0^+$，$\ln x$的绝对值无限增大，但方向始终为负，即$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \ln x = -\infty$。

  3. 判断是否为无穷小量

    • 根据定义，无穷小量要求极限为$0$，而$\ln x$的极限是$-\infty$，因此$\ln x$在$x \rightarrow 0^+$时不是无穷小量，而是无穷大量（负无穷大）。