题目
讨论下列函数在 x=0 处的连续性与可导性.-|||-.y= { , xneq 0, 0, x=0 . ,
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断，需要掌握极限的计算、连续的定义以及导数的定义。
解题核心思路：
- 连续性：验证当$x \rightarrow 0$时，函数的极限值是否等于$f(0)$。
- 可导性：直接利用导数的定义式计算$f'(0)$，判断极限是否存在。
破题关键点：
- 连续性的关键在于利用有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量的性质。
- 可导性需严格使用导数定义，而非直接对表达式求导，因为函数在$x=0$处分段定义。
连续性分析
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计算极限$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$：
- 当$x \neq 0$时，$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$。
- 注意到$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，因此$|x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq x^2$。
- 当$x \rightarrow 0$时，$x^2 \rightarrow 0$，故$\lim_{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$。
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比较极限与$f(0)$：
- $f(0) = 0$，因此$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$，函数在$x=0$处连续。
可导性分析
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应用导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}.$ -
计算极限：
- 同样利用$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，得$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$。
- 当$x \rightarrow 0$时，$|x| \rightarrow 0$，故$\lim_{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。
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结论：
- 导数$f'(0) = 0$存在，因此函数在$x=0$处可导。