题目
填空题（共15题，30.0分）题型说明：共15题，每题2分。28.（2.0分）设phi(x)=int_(0)^xcos(t^2)dt，则phi'(x)=
填空题（共15题，30.0分）
题型说明：共15题，每题2分。
28.（2.0分）设$\phi(x)=\int_{0}^{x}\cos(t^{2})dt$，则$\phi'(x)=$
题目解答
答案
根据微积分基本定理，对于函数 $\phi(x) = \int_{0}^{x} \cos(t^2) \, dt$，其导数 $\phi'(x)$ 等于被积函数在上限 $x$ 处的值。即：
\[
\phi'(x) = \cos(x^2)
\]
因此，答案为：
\[
\boxed{\cos(x^2)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查变上限积分的求导法则，即微积分基本定理的应用。
解题核心思路：根据微积分基本定理，若函数$\phi(x)$表示为从常数下限到变量上限$x$的积分，则其导数$\phi'(x)$直接等于被积函数在积分上限$x$处的值，无需进行积分运算。
关键点：
- 变上限积分的导数公式：$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$。
- 被积函数中的变量替换：积分变量$t$在积分过程中被替换为$x$，因此结果中仅保留$x$的函数形式。
根据微积分基本定理，对于函数$\phi(x) = \int_{0}^{x} \cos(t^2) \, dt$，其导数$\phi'(x)$的计算步骤如下：
- 识别被积函数：被积函数为$f(t) = \cos(t^2)$。
- 应用变上限积分求导法则：直接将积分上限$x$代入被积函数中的变量$t$，得到$\phi'(x) = \cos(x^2)$。
- 验证是否需要额外调整：由于积分上限为$x$本身，且被积函数中没有其他关于$x$的复合结构，因此无需额外应用链式法则或其他求导规则。
综上，$\phi'(x) = \cos(x^2)$。