设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(1)=0，证明：至少存在一点 xi in (0,1)，使 f'(xi) = -(2f(xi))/(xi)。
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)=0$，证明：至少存在一点 $\xi \in (0,1)$，使 $f'(\xi) = -\frac{2f(\xi)}{\xi}$。
题目解答
答案
我们来证明这个题目，题目如下：
> 设函数 $ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $ f(1) = 0 $。
> 证明：至少存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得
>
$> f'(\xi) = -\frac{2f(\xi)}{\xi}.
>$
解题思路分析
我们要证明存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得
$f'(\xi) = -\frac{2f(\xi)}{\xi}$
这个等式可以改写为：
$f'(\xi) + \frac{2}{\xi}f(\xi) = 0$
这看起来像是一个微分方程的形式。我们考虑构造一个辅助函数，使得它的导数为零时，恰好对应这个等式。
观察右边的 $ \frac{2f(\xi)}{\xi} $，提示我们可能用乘以一个积分因子的方法来构造函数。
构造辅助函数
考虑微分方程：
$f'(x) + \frac{2}{x}f(x) = 0$
它的积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2\ln x} = x^2$
于是，乘以 $ x^2 $ 后，左边变为：
$x^2 f'(x) + 2x f(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 f(x) \right)$
因此，我们自然想到构造辅助函数：
$F(x) = x^2 f(x)$
验证 $ F(x) $ 的性质
由于 $ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，而 $ x^2 $ 是光滑函数，所以：
- $ F(x) = x^2 f(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续；
- 在 $(0,1)$ 内可导。
我们再看端点处的值：
- $ F(1) = 1^2 \cdot f(1) = 1 \cdot 0 = 0 $
- $ F(0) = 0^2 \cdot f(0) = 0 $
所以：
$F(0) = 0, \quad F(1) = 0$
应用罗尔定理（Rolle's Theorem）
函数 $ F(x) $ 满足：
- 在 $[0,1]$ 上连续；
- 在 $(0,1)$ 内可导；
- $ F(0) = F(1) = 0 $
因此，由罗尔定理，存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得：
$F'(\xi) = 0$
计算 $ F'(x) $
$F(x) = x^2 f(x) \Rightarrow F'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)$
令 $ F'(\xi) = 0 $，即：
$2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi) = 0$
两边除以 $ \xi $（注意 $ \xi \in (0,1) $，所以 $ \xi \ne 0 $）：
$2f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$
移项得：
$\xi f'(\xi) = -2f(\xi)
\Rightarrow f'(\xi) = -\frac{2f(\xi)}{\xi}$
结论
因此，存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得：
$f'(\xi) = -\frac{2f(\xi)}{\xi}$
证毕。
最终答案
$\boxed{\text{存在一点 } \xi \in (0,1) \text{，使得 } f'(\xi) = -\frac{2f(\xi)}{\xi}}$
解析
本题考查罗尔定理的应用。解题的关键思路是通过对要证明的等式进行变形，构造出一个合适的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，进而利用罗尔定理得出结论。
- 对要证明的等式进行变形：
- 已知要证明存在一点$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi}$，将其变形为$f'(\xi)+\frac{2}{\xi}f(\xi)=0$。
- 构造辅助函数：
- 考虑微分方程$f'(x)+\frac{2}{x}f(x)=0$，其积分因子为$\mu(x)=e^{\int\frac{2}{x}dx}$。
- 根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln x + C$，可得$\int\frac{2}{x}dx = 2\ln x$，那么$\mu(x)=e^{2\ln x}=x^{2}$。
- 因为$x^{2}f'(x)+2xf(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}f(x))$，所以构造辅助函数$F(x)=x^{2}f(x)$。
- 验证辅助函数$F(x)$的性质：
- 由于$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，$y = x^{2}$是光滑函数，根据连续函数和可导函数的乘积性质，可知$F(x)=x^{2}f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导。
- 计算端点值：
- $F(1)=1^{2}\cdot f(1)$，已知$f(1)=0$，所以$F(1)=0$。
- $F(0)=0^{2}\cdot f(0)=0$。
- 即$F(0)=F(1)=0$。
- 应用罗尔定理：
- 因为$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=F(1)=0$，根据罗尔定理，存在一点$\xi\in(0,1)$，使得$F'(\xi)=0$。
- 计算$F'(x)$并得出结论：
- 对$F(x)=x^{2}f(x)$求导，根据乘积求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = x^{2}$，$v = f(x)$，可得$F'(x)=(x^{2})^\prime f(x)+x^{2}f'(x)=2xf(x)+x^{2}f'(x)$。
- 令$F'(\xi)=0$，即$2\xi f(\xi)+\xi^{2}f'(\xi)=0$。
- 因为$\xi\in(0,1)$，$\xi\neq0$，等式两边同时除以$\xi$，得到$2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$。
- 移项可得$\xi f'(\xi)= - 2f(\xi)$，进一步变形为$f'(\xi)=-\frac{2f(\xi)}{\xi}$。