题目

填空题（共15题，30.0分）题型说明：共15题，每题2分。39.（2.0分）(sin 2x)^prime=

填空题（共15题，30.0分） 题型说明：共15题，每题2分。 39.（2.0分）$(\sin 2x)^{\prime}=$

题目解答

答案

令 $u = 2x$，则 $\sin 2x = \sin u$。根据复合函数求导法则， \[ (\sin 2x)' = (\sin u)' \cdot (2x)' = \cos u \cdot 2 = 2\cos 2x. \] 或者，利用和角公式展开 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$，求导得 \[ (2\sin x\cos x)' = 2[(\sin x)'\cos x + \sin x(\cos x)'] = 2[\cos^2 x - \sin^2 x] = 2\cos 2x. \] 答案：$\boxed{2\cos 2x}$

解析

本题考查复合函数的导数计算，核心在于正确应用链式法则。题目中的$\sin 2x$是外层函数$\sin u$与内层函数$u=2x$的复合，需分别求导后相乘。此外，也可通过三角函数的倍角公式展开后用乘积法则求解，但链式法则更为直接。

方法一：链式法则

  1. 设中间变量：令$u = 2x$，则$\sin 2x = \sin u$。
  2. 外层函数求导：$(\sin u)' = \cos u$。
  3. 内层函数求导：$(2x)' = 2$。
  4. 相乘得结果：$(\sin 2x)' = \cos u \cdot 2 = 2\cos 2x$。

方法二：倍角公式展开

  1. 展开函数：$\sin 2x = 2\sin x \cos x$。
  2. 应用乘积法则：
    $(2\sin x \cos x)' = 2[(\sin x)'\cos x + \sin x(\cos x)'] = 2[\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x)].$
  3. 化简结果：
    $2(\cos^2 x - \sin^2 x) = 2\cos 2x.$