题目
1.21 求矢量A=e_(x)x+e_(y)x^2+e_(z)y^2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求nabla times A对此回路所包围的曲面的面积分，验证斯托克斯定理。
1.21 求矢量$A=e_{x}x+e_{y}x^{2}+e_{z}y^{2}z$沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求$\nabla \times A$对此回路所包
围的曲面的面积分，验证斯托克斯定理。
题目解答
答案
1. 线积分计算：
- 边1：$\int_{0}^{2} x \, dx = 2$。
- 边2：$\int_{0}^{2} 4 \, dy = 8$。
- 边3：$\int_{2}^{0} x \, dx = -2$。
- 边4：$\int_{2}^{0} 0 \, dy = 0$。
总线积分：$2 + 8 - 2 + 0 = 8$。
2. 旋度计算：
\[
\nabla \times \vec{A} = 2yz \, e_x + 2x \, e_z
\]
在 $xy$ 平面上，$z = 0$，故 $(\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{S} = 2x \, dx \, dy$。
3. 面积分计算：
\[
\iint_S 2x \, dx \, dy = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} 2x \, dx \, dy = 8
\]
两者结果均为 8，符合斯托克斯定理。
答案：$\boxed{8}$