计算不定积分int dfrac (x)(1+sin x)dx

步骤 1：识别积分类型
题目要求计算不定积分 $\int \dfrac {x}{1+\sin x}dx$，这是一个涉及三角函数的积分问题，需要使用三角恒等变换和分部积分法来解决。

步骤 2：应用三角恒等变换
为了简化积分，我们首先应用三角恒等变换，将分母 $1+\sin x$ 转换为一个更容易处理的形式。我们乘以 $1-\sin x$ 的分子和分母，得到：
$$\int \dfrac {x(1-\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx = \int \dfrac {x(1-\sin x)}{1-\sin^2 x}dx$$
由于 $1-\sin^2 x = \cos^2 x$，所以积分可以写为：
$$\int \dfrac {x(1-\sin x)}{\cos^2 x}dx$$

步骤 3：分部积分法
接下来，我们使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \dfrac{1-\sin x}{\cos^2 x}dx$，则 $du = dx$，$v = \int \dfrac{1-\sin x}{\cos^2 x}dx$。为了求出 $v$，我们再次应用分部积分法，设 $u = 1-\sin x$，$dv = \dfrac{1}{\cos^2 x}dx$，则 $du = -\cos x dx$，$v = \tan x$。因此，$v = \int \dfrac{1-\sin x}{\cos^2 x}dx = \int \sec^2 x dx - \int \sec x \tan x dx = \tan x - \sec x$。

步骤 4：计算积分
根据分部积分法，我们有：
$$\int \dfrac {x}{1+\sin x}dx = x(\tan x - \sec x) - \int (\tan x - \sec x)dx$$
$$= x(\tan x - \sec x) - \int \tan x dx + \int \sec x dx$$
$$= x(\tan x - \sec x) + \ln|\cos x| + \ln|\sec x + \tan x| + C$$
$$= x(\tan x - \sec x) + \ln|1 + \sin x| + C$$