设 overrightarrow(alpha) = ((1)/(2) ), A = ( (1)/(sqrt(2)) & -(1)/(sqrt(2)) (1)/(sqrt(2)) & (1)/(sqrt(2)) 的长度为 ().A. sqrt(5)B. sqrt(3)C. 1D. sqrt(2)

考查要点：本题主要考查矩阵与向量的乘法运算，以及向量长度的计算。同时，若能识别矩阵的正交性，可快速利用正交矩阵的性质简化计算。

解题核心思路：

1. 直接计算法：先进行矩阵与向量的乘法，得到结果向量，再计算其模长。
2. 正交矩阵性质：若矩阵$A$是正交矩阵，则$A\overrightarrow{\alpha}$的长度等于$\overrightarrow{\alpha}$的长度，可直接计算$\overrightarrow{\alpha}$的模长。

破题关键点：

• 验证矩阵$A$是否为正交矩阵：若满足$A^TA = I$，则$A$是正交矩阵，可直接应用性质。
• 向量长度的计算公式：$\|\overrightarrow{\beta}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$。

步骤1：验证矩阵$A$的正交性

计算$A^TA$：
$A^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad A^TA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$
因此，$A$是正交矩阵。

步骤2：利用正交矩阵性质

正交矩阵作用下向量长度不变，故：
$\|\overrightarrow{\beta}\| = \|A\overrightarrow{\alpha}\| = \|\overrightarrow{\alpha}\|$
计算$\overrightarrow{\alpha} = (1, 2)$的长度：
$\|\overrightarrow{\alpha}\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$