【例8】求不定积分int(arctan x)/(x^3)dx.
题目解答
答案
设 $ I = \int \frac{\arctan x}{x^3} \, dx $。
使用分部积分法，令 $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1+x^2} \, dx $；令 $ dv = \frac{1}{x^3} \, dx $，则 $ v = -\frac{1}{2x^2} $。
代入分部积分公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，得：
$I = -\frac{\arctan x}{2x^2} - \int \left( -\frac{1}{2x^2} \right) \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx = -\frac{\arctan x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2(1+x^2)} \, dx$
将 $ \frac{1}{x^2(1+x^2)} $ 分解为部分分式：
$\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$
因此，
$\int \frac{1}{x^2(1+x^2)} \, dx = \int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2} \right) \, dx = -\frac{1}{x} - \arctan x + C$
代入得：
$I = -\frac{\arctan x}{2x^2} + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{x} - \arctan x \right) + C = -\frac{\arctan x}{2x^2} - \frac{1}{2x} - \frac{1}{2} \arctan x + C$
答案：
$\boxed{-\frac{\arctan x}{2x^2} - \frac{1}{2x} - \frac{1}{2} \arctan x + C}$
解析
本题考查不定积分的计算，解题思路是先使用分部分部积分法对原积分进行转化，然后对转化后积分中的被积函数进行部分部分分式分解，最后分别计算各各部分积分。
- 使用分部积分法：
设 $I = \int \frac{\arctan x}{x^3} \, dx \mathrm{d}x$。
使用分部积分法，令 $u = \arctan x$，则 $\mathrm{d}u} = \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x$；令 $\mathrm{d}v = \frac{1}{x^3} \, \mathrm{d}x$，则 $v = -\frac{1}{2x^2}$。
代入分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$，得：
$I = -\frac{\arctan x}{2x^2} - \int \left( -\frac{1{2x^2} \right) \cdot \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = -\frac{\frac{\arctan x}{2x^2}\} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2(1+x^2)} \, \mathrm{d}x$ - 对被积函数进行部分分式分解：
将 $\(\frac{1}{x^2(1+x^2)}$ 分解为部分分式：
$\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$ - **分别计算各部分积分：
因此，
$\int \frac{1}{x^2(1+x^2)} \, \mathrm{d}x = \int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2} \right) \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{x} - \arctan x + C$
代入得：
$I = -\frac{\arctan x}{2x^2} + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{x} - \arctan x \right) + C = -\frac{\arctan x}{2x^2} - \frac{1}{2x} - \frac{1}{2} \arctan x + C$