设 C 是绕点 z_0 neq 0 的正向简单闭曲线，则 oint_(C) (z^5)/((z-z_0)^3) , mathrm(d)z = ( ).A. 2pi i;B. 20pi z_0^3 i;C. 2pi z_0^5 i;D. 0.

我们来求解复积分：

$\oint_{C} \frac{z^5}{(z - z_0)^3} \, dz$

其中，$ C $ 是绕点 $ z_0 \neq 0 $ 的正向简单闭曲线，即 $ C $ 是一条包围 $ z_0 $ 的闭合曲线，方向为逆时针（正向）。

第一步：分析被积函数的奇点

被积函数为：
$f(z) = \frac{z^5}{(z - z_0)^3}$

这个函数在 $ z = z_0 $ 处有一个三阶极点，因为分母是 $ (z - z_0)^3 $，而分子 $ z^5 $ 在 $ z = z_0 $ 处解析且不为零（因为 $ z_0 \ne 0 $，所以 $ z_0^5 \ne 0 $）。

由于 $ C $ 是包围 $ z_0 $ 的正向简单闭曲线，因此我们可以使用柯西积分公式的高阶导数形式来计算这个积分。

第二步：回忆柯西积分公式（高阶导数形式）

柯西积分公式指出：若 $ f(z) $ 在闭曲线 $ C $ 内及 $ C $ 上解析，则对 $ C $ 内任一点 $ z_0 $，有：

$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz$

反过来可以写成：

$\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z_0)$

第三步：将原积分与公式对应

原积分是：

$\oint_C \frac{z^5}{(z - z_0)^3} \, dz$

我们可以令 $ f(z) = z^5 $，这是一个整函数（处处解析），所以当然在 $ C $ 内和 $ C $ 上解析。

于是，原积分可以写成：

$\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^3} \, dz$

对应于 $ n+1 = 3 $，即 $ n = 2 $。

根据柯西积分公式：

$\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^3} \, dz = \frac{2\pi i}{2!} f''(z_0) = \frac{2\pi i}{2} f''(z_0) = \pi i \cdot f''(z_0)$

第四步：计算 $ f(z) = z^5 $ 的二阶导数

$f(z) = z^5 \\ f'(z) = 5z^4 \\ f''(z) = 20z^3$

所以：
$f''(z_0) = 20 z_0^3$

代入积分结果：

$\oint_C \frac{z^5}{(z - z_0)^3} \, dz = \pi i \cdot 20 z_0^3 = 20\pi z_0^3 i$

第五步：选择正确选项

答案是：

$\boxed{20\pi z_0^3 i}$

对应选项为：

B. $ 20\pi z_0^3 i $

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{B}}$