1-18 一电子在电场中运动,其运动学方程为 =3t, =12-3(t)^2, 其中x、y以m为单位,-|||-以s为单位.计算 t=1s 时电子的切向加速度、法向加速度以及轨迹上该点处的曲率半径.

步骤 1：计算速度和加速度
根据运动学方程 $x=3t$ 和 $y=12-3t^2$，我们首先计算速度和加速度。
速度的分量为：
$$
v_x = \frac{dx}{dt} = 3
$$
$$
v_y = \frac{dy}{dt} = -6t
$$
加速度的分量为：
$$
a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0
$$
$$
a_y = \frac{dv_y}{dt} = -6
$$
步骤 2：计算切向加速度
切向加速度 $a_t$ 是加速度在速度方向上的分量。速度的大小为：
$$
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{3^2 + (-6t)^2} = \sqrt{9 + 36t^2}
$$
切向加速度为：
$$
a_t = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v} = \frac{3 \cdot 0 + (-6t) \cdot (-6)}{\sqrt{9 + 36t^2}} = \frac{36t}{\sqrt{9 + 36t^2}}
$$
步骤 3：计算法向加速度
法向加速度 $a_n$ 是加速度在垂直于速度方向上的分量。法向加速度为：
$$
a_n = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 - a_t^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2 - \left(\frac{36t}{\sqrt{9 + 36t^2}}\right)^2} = \sqrt{36 - \frac{1296t^2}{9 + 36t^2}}
$$
步骤 4：计算曲率半径
曲率半径 $R$ 为：
$$
R = \frac{v^2}{a_n}
$$
步骤 5：计算 t=1s 时的切向加速度、法向加速度和曲率半径
将 t=1s 代入上述公式，得到：
$$
v = \sqrt{9 + 36 \cdot 1^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
$$
$$
a_t = \frac{36 \cdot 1}{\sqrt{45}} = \frac{36}{3\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5} \approx 5.37 m/s^2
$$
$$
a_n = \sqrt{36 - \frac{1296 \cdot 1^2}{9 + 36 \cdot 1^2}} = \sqrt{36 - \frac{1296}{45}} = \sqrt{36 - 28.8} = \sqrt{7.2} \approx 2.68 m/s^2
$$
$$
R = \frac{(3\sqrt{5})^2}{2.68} = \frac{45}{2.68} \approx 16.8 m
$$