已知 dfrac (sin x)(x) 是f(x)的一个原函数,求 int (x)^3f'(x)dx.

步骤 1：确定原函数
已知 $\dfrac {\sin x}{x}$ 是f(x)的一个原函数，即 $f(x) = \dfrac {\sin x}{x}$。

步骤 2：求导
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，即 $f'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)$。
利用商的求导法则，$f'(x) = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$。

步骤 3：积分
求 $\int {x}^{3}f'(x)dx$，即 $\int {x}^{3}\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}dx$。
化简得 $\int {x}^{3}f'(x)dx = \int x(x\cos x - \sin x)dx$。
将积分式拆分为 $\int x^2\cos x dx - \int x\sin x dx$。

步骤 4：分部积分
对 $\int x^2\cos x dx$ 和 $\int x\sin x dx$ 分别使用分部积分法。
对于 $\int x^2\cos x dx$，设 $u = x^2$，$dv = \cos x dx$，则 $du = 2x dx$，$v = \sin x$。
对于 $\int x\sin x dx$，设 $u = x$，$dv = \sin x dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$。

步骤 5：计算
$\int x^2\cos x dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x dx$。
$\int x\sin x dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x$。
将上述结果代入，得 $\int {x}^{3}f'(x)dx = x^2\sin x - 2(-x\cos x + \sin x) - (-x\cos x + \sin x) + C$。
化简得 $\int {x}^{3}f'(x)dx = x^2\sin x + 3x\cos x - 3\sin x + C$。