2【判断题】(2分) 若随机变量 Xsim N(0,1),Ysim N(0,1),且 rho_(XY)=0则二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布。 A.对 B.错

要判断二维随机变量 $(X, Y)$ 是否服从二维正态分布，已知 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(0,1)$，且 $\rho_{XY} = 0$，我们需要理解二维正态分布的性质以及零相关性对这些性质的影响。 二维正态分布由以下概率密度函数定义： \[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right) + \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2\right]\right) \] 其中 $\mu_X$ 和 $\mu_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的均值，$\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的标准差，$\rho$ 是 $X$ 和 $Y$ 之间的相关系数。 在给定的问题中，$\mu_X = 0$，$\mu_Y = 0$，$\sigma_X = 1$，$\sigma_Y = 1$，且 $\rho = 0$。将这些值代入密度函数，我们得到： \[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-0^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-0^2)}\left[\left(\frac{x-0}{1}\right)^2 - 2 \cdot 0 \cdot \left(\frac{x-0}{1}\right)\left(\frac{y-0}{1}\right) + \left(\frac{y-0}{1}\right)^2\right]\right) \] \[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi} \exp\left(-\frac{1}{2}\left[x^2 + y^2\right]\right) \] \[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right) \] \[ f(x, y) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\right) \] \[ f(x, y) = f_X(x) f_Y(y) \] 其中 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的边缘密度函数。这表明当 $\rho = 0$ 时，$X$ 和 $Y$ 是独立的。 然而，$X$ 和 $Y$ 的独立性是二维正态分布的必要但不充分条件。为了使 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，联合分布必须是上述形式的双变量正态密度函数。题目中没有提供关于 $X$ 和 $Y$ 的联合分布的任何信息，除了它们是标准正态的且不相关。没有关于联合分布的额外信息，我们不能得出 $(X, Y)$ 服从二维正态分布的结论。 因此，答案是： \[ \boxed{B} \]