题目

14.求定积分 int_(0)^4ln(2+sqrt(x))dx

14.求定积分 $\int_{0}^{4}\ln(2+\sqrt{x})dx$

题目解答

答案

为了求定积分 $\int_{0}^{4}\ln(2+\sqrt{x})dx$，我们将使用分部积分法和代换法。让我们一步步进行。 首先，设 $u = \ln(2 + \sqrt{x})$。那么，$du = \frac{1}{2 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})} dx$。 接下来，设 $dv = dx$。那么，$v = x$。 使用分部积分法，我们有： \[ \int_{0}^{4} \ln(2 + \sqrt{x}) dx = \left[ x \ln(2 + \sqrt{x}) \right]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})} dx. \] 首先，计算边界项： \[ \left[ x \ln(2 + \sqrt{x}) \right]_{0}^{4} = 4 \ln(2 + \sqrt{4}) - 0 \ln(2 + \sqrt{0}) = 4 \ln(4) = 4 \cdot 2 \ln(2) = 8 \ln(2). \] 现在，我们需要计算剩余的积分： \[ \int_{0}^{4} \frac{x}{2\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} dx. \] 为了简化 $\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} dx$，设 $t = \sqrt{x}$。那么，$x = t^2$ 和 $dx = 2t dt$。当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 4$ 时，$t = 2$。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} dx = \int_{0}^{2} \frac{t}{2 + t} \cdot 2t dt = 2 \int_{0}^{2} \frac{t^2}{2 + t} dt. \] 为了简化 $\frac{t^2}{2 + t}$，进行多项式长除法： \[ t^2 = (t + 2)(t - 2) + 4 \implies \frac{t^2}{t + 2} = t - 2 + \frac{4}{t + 2}. \] 因此，积分变为： \[ 2 \int_{0}^{2} \left( t - 2 + \frac{4}{t + 2} \right) dt = 2 \left[ \frac{t^2}{2} - 2t + 4 \ln|t + 2| \right]_{0}^{2}. \] 计算这个表达式： \[ 2 \left[ \left( \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 + 4 \ln(4) \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 2 \cdot 0 + 4 \ln(2) \right) \right] = 2 \left[ (2 - 4 + 8 \ln(2)) - (0 - 0 + 4 \ln(2)) \right] = 2 \left[ -2 + 4 \ln(2) \right] = -4 + 8 \ln(2). \] 因此，剩余积分的值是 $-2 + 4 \ln(2)$。将此代回我们的分部积分表达式，我们得到： \[ \int_{0}^{4} \ln(2 + \sqrt{x}) dx = 8 \ln(2) - \left( -2 + 4 \ln(2) \right) = 8 \ln(2) + 2 - 4 \ln(2) = 2 + 4 \ln(2). \] 因此，定积分的值是： \[ \boxed{2 + 4 \ln 2}. \]

解析

本题本题考查定积分的计算，解题思路是先使用分部积分法将原积分进行转化，然后通过换元法简化简化剩余的积分，再对简化后的积分进行多项式长除法进一步化简，最后计算定积分的值。

  1. 使用分部分部积分法：
    • 设$u = \ln(2 + \sqrt{x})$，对$(u$求导，根据复合函数求导法则$(\ln f(x))^\prime=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，可得$du = \frac{1}{2 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})} dx$。
    • 设$dv = dx$，则$v = x$。
    • 根据分部积分公式$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v=uv|_{a}^{}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，可得：
      • $\int_{0}^{4} \ln(2 + \sqrt{x}) dx = \left[ x \ln(2 + \sqrt{x}) \right]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})} dx$。
  2. 计算边界项：
    • $\left[ x \ln(2 + \sqrt{x}) \right]_{0}^{4} = 4 \ln(2 + \sqrt{4}) - 0 \ln(2 + \sqrt{0}) = 4 \ln(4$。
    • 因为$\ln4=\ln2^2 = 2\ln2$，所以$4\ln4 = 4\times2\ln2 = 8\ln2$。
  3. 计算剩余积分：
    • $\(\int_{0}^{4} \frac{x}{2\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} dx$。
    • 设$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t dt$。当$x = 0$时，$t = 0$；当$x = 4$时，$t = 2$。
    • 积分变为$\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} dx = \int_{0}^{2} \frac{t}{2 + t} \cdot 2t dt = 2 \int_{0}^{2} \frac{t^2}{2 + t} dt$。
  4. 进行多项式长除法：
    • $t^2 = (t + 2)(t - 2) + 4$，所以$\frac{t^2}{t + 2} = t - 2 + \frac{4}{t + 2}$。
    • 则积分变为$2 \int_{0}^{2} \left( t - 2 + \frac{4}{t + 2} \right) dt$。
  5. 计算(计算定积分：
    • $2 \int_{0}^{2} \left( t - 2 + \frac{4}{t + 2} \right) dt = 2 \left[ \frac{t^2}{2} - 2t + 4 \ln|t + 2| \right]_{0}^{2}$。
    • $= 2 \left[ \left( \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 + 4 \ln(4) \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 2 \cdot 0 + 4 \ln(2) \right) \right]$。
    • $= 2 \left[ (2 - 4 + 8 \ln(2)) - (0 - 0 + 4 \ln(2)) \right]$。
    • $= 2 \left[ -2 + 4 \ln(2) \right] = -4 + 8 \ln(2)$。
    • 所以$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} dx=\frac{1}{2}\times(-4 + 8\ln2)=-2 + 4\ln2$。
  6. 得到最终结果：
    • $\int_{0}^{4} \ln(2 + \sqrt{x}) dx = 8 \ln(2) - (-2 + 4 \ln(2))$。
    • $= 8 \ln(2) + 2 - 4 \ln(2) = 2 + 4 \ln(2)$。