题目
8.(判断题) 若AB=0,则A=0或B=0.()A. 对B. 错
8.(判断题) 若AB=0,则A=0或B=0.()
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：定义矩阵乘法
矩阵乘法定义为两个矩阵相乘，其结果是一个新的矩阵，其中每个元素是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的点积。
步骤 2：构造反例
考虑矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，计算得：
\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：分析结果
尽管 $A$ 和 $B$ 均非零矩阵，但乘积为零矩阵。因此，原命题错误。
矩阵乘法定义为两个矩阵相乘，其结果是一个新的矩阵，其中每个元素是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的点积。
步骤 2：构造反例
考虑矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，计算得：
\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：分析结果
尽管 $A$ 和 $B$ 均非零矩阵，但乘积为零矩阵。因此，原命题错误。