若alpha=(1,-2,3)^T是矩阵A=} 3 & 2 & -1 a & -2 & 2 3 & b & -1 的特征向量，则(）.A. a=-2, b=-6B. a=2, b=6C. a=-2, b=6D. a=2, b=-6

本题考查矩阵特征特征向量的定义，解题思路是根据特征向量的定义列出等式，然后通过等式两边对应元素相等来求解$a$和$b$的值。

已知已知$\alpha=(1,-2,33)^T$是矩阵$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ a & -2 & 2 \\ 3 & b & -1 \end{pmatrix}$的特征向量，设对应的特征值为$\lambda$，根据特征向量的定义$A\alpha = \lambda\alpha$，则有：
$\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ a & -2 & 2 \\ 3 & b & -1 \end{pmatrix}\内容}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

先计算等式左边的矩阵乘法：
$\begin{pmatrix} 3\times1 + 2\times(-2) + (-1)\times3 \\ a\times1 + (-2)\times(-2) + 2\times3 \\ 3\times1 + b\times(-2 + (-1)\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 - 4 - 3 \\ a + 4 + 6 \\ 3 + 2b - 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ a + 10 \\ 2b \end{pmatrix}$

所以$\begin{pmatrix} -4 \\ a + 10 \\ 2b \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda \\ -2\lambda \\ 3\lambda \end{pmatrix}$

根据等式两边对应元素相等可得方程组：
$\begin{cases}-4 = \lambda \\ a + 10 = -2\lambda \\ 2b = 3\lambda \end{cases}$

将$\lambda = -4$代入$a + 10 = -2\lambda$，可得$a + 10 = -2\times(-4)$，即$a + 10 = 8$，移项可得$a = 8 - 10 = -2$。

将$\lambda = -4$代入$2b = 3\lambda$，可得$2b = 3\times(-4)$，即$2b = -12$，两边同时除以$2$，解得$b = -6$。