题目
求微分方程^2y'-y=dfrac (1)(x)-1满足初始条件 ^2y'-y=dfrac (1)(x)-1的特解。
求微分方程
满足初始条件 
的特解。
题目解答
答案
可将原微分方程化简：
故可得微分方程的通解为：
将初始条件带入得：
所以特解为：
解析
步骤 1：化简微分方程
原微分方程为${x}^{2}y-y=\dfrac {1}{x}-1$，可以化简为$y({x}^{2}-1)=\dfrac {1}{x}-1$，进一步化简为$y=\dfrac {\dfrac {1}{x}-1}{{x}^{2}-1}$，即$y=\dfrac {1-x}{x({x}^{2}-1)}$。
步骤 2：求通解
将微分方程化简为$y'=-\dfrac {1}{{x}^{2}}y+\dfrac {1}{{x}^{3}}-\dfrac {1}{{x}^{2}}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。其通解形式为$y=e^{-\int -\dfrac {1}{{x}^{2}}dx}[\int (\dfrac {1}{{x}^{3}}-\dfrac {1}{{x}^{2}})e^{\int -\dfrac {1}{{x}^{2}}dx}dx+C]$。
步骤 3：计算积分
计算积分$\int -\dfrac {1}{{x}^{2}}dx$，得到$e^{-\int -\dfrac {1}{{x}^{2}}dx}=e^{\dfrac {1}{x}}$。再计算$\int (\dfrac {1}{{x}^{3}}-\dfrac {1}{{x}^{2}})e^{\dfrac {1}{x}}dx$，得到$e^{\dfrac {1}{x}}(-\dfrac {1}{x}+1)$。因此，通解为$y=e^{\dfrac {1}{x}}[(-\dfrac {1}{x}+1)+C]$。
步骤 4：应用初始条件
将初始条件$y(1)=1$代入通解，得到$1=e^{\dfrac {1}{1}}[(-\dfrac {1}{1}+1)+C]$，即$1=e[0+C]$，解得$C=1-e$。
原微分方程为${x}^{2}y-y=\dfrac {1}{x}-1$，可以化简为$y({x}^{2}-1)=\dfrac {1}{x}-1$，进一步化简为$y=\dfrac {\dfrac {1}{x}-1}{{x}^{2}-1}$，即$y=\dfrac {1-x}{x({x}^{2}-1)}$。
步骤 2：求通解
将微分方程化简为$y'=-\dfrac {1}{{x}^{2}}y+\dfrac {1}{{x}^{3}}-\dfrac {1}{{x}^{2}}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。其通解形式为$y=e^{-\int -\dfrac {1}{{x}^{2}}dx}[\int (\dfrac {1}{{x}^{3}}-\dfrac {1}{{x}^{2}})e^{\int -\dfrac {1}{{x}^{2}}dx}dx+C]$。
步骤 3：计算积分
计算积分$\int -\dfrac {1}{{x}^{2}}dx$，得到$e^{-\int -\dfrac {1}{{x}^{2}}dx}=e^{\dfrac {1}{x}}$。再计算$\int (\dfrac {1}{{x}^{3}}-\dfrac {1}{{x}^{2}})e^{\dfrac {1}{x}}dx$，得到$e^{\dfrac {1}{x}}(-\dfrac {1}{x}+1)$。因此，通解为$y=e^{\dfrac {1}{x}}[(-\dfrac {1}{x}+1)+C]$。
步骤 4：应用初始条件
将初始条件$y(1)=1$代入通解，得到$1=e^{\dfrac {1}{1}}[(-\dfrac {1}{1}+1)+C]$，即$1=e[0+C]$，解得$C=1-e$。