题目
若 u_n > 0，则级数 sum_(n=1)^infty (-1)^n-1 u_n 收敛的条件是 (）A. lim_(n to infty) u_n = 0B. u_n leq u_(n+1)，且 lim_(n to infty) u_n = 0C. u_n geq u_(n+1)D. u_n geq u_(n+1)，且 lim_(n to infty) u_n = 0
若 $u_n > 0$，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ 收敛的条件是 (）
A. $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
B. $u_n \leq u_{n+1}$，且 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
C. $u_n \geq u_{n+1}$
D. $u_n \geq u_{n+1}$，且 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
题目解答
答案
D. $u_n \geq u_{n+1}$，且 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
解析
步骤 1：理解莱布尼茨判别法
莱布尼茨判别法指出，对于交错级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} u_n$（其中 $u_n > 0$），其收敛的条件为：1. $u_n$ 单调递减，即 $u_n \ge u_{n+1}$；2. $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。
步骤 2：分析选项
- **A**：仅满足极限为零，无法保证单调性，错误；
- **B**：非递减且极限为零，与莱布尼茨条件矛盾，错误；
- **C**：仅单调递减，无极限条件，错误；
- **D**：同时满足单调递减和极限为零，符合莱布尼茨判别法，正确。
莱布尼茨判别法指出，对于交错级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} u_n$（其中 $u_n > 0$），其收敛的条件为：1. $u_n$ 单调递减，即 $u_n \ge u_{n+1}$；2. $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。
步骤 2：分析选项
- **A**：仅满足极限为零，无法保证单调性，错误；
- **B**：非递减且极限为零，与莱布尼茨条件矛盾，错误；
- **C**：仅单调递减，无极限条件，错误；
- **D**：同时满足单调递减和极限为零，符合莱布尼茨判别法，正确。