用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【训练2】 如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝了AB，B1C1綊了BC，二面角A1－AB－C是直二面角.了求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明 因为二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1⊥平面BAC.又因为AB＝AC，BC＝了AB，所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2).了(1)了＝(0，2，0)，了＝(0，0，－2)，了＝(2，0，0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则了即了即了取y＝1，则n＝(0，1，0)，所以了＝2n，即了∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)易知了＝(0，2，2)，了＝(1，1，0)，了＝(2，0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则了即了令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1，1).所以了·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以了⊥m，又AB1平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题了多维探究角度1 与平行有关的探索性问题【例3－1】 (2018·西安八校联考)已知某几何体的直观图和三视图如图，其主视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.了解 由几何体的三视图可知AB，BC，BB1两两垂直，AN＝AB＝BC＝4，BB1＝8.如图，分别以AB，BB1，BC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系B－xyz，则A(4，0，0)，B(0，0，0)，C(0，0，4)，N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4).了设平面CNB1的法向量为n＝(x，y，z).∵了＝(－4，－4，4)，了＝(－4，4，0)，∴了令x＝1，可得平面CNB1的一个法向量为n＝(1，1，2).设P(0，0，a)(0≤a≤4).由M(2，0，0)，得了＝(2，0，－a).∵MP∥平面CNB1，∴了·n＝2－2a＝0，解得a＝1，∴在线段CB上存在一点P，使得MP∥平面CNB1，此时BP＝1.角度2 与垂直有关的探索性问题【例3－2】 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.了(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出了的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H，则BH＝1，AH＝了，CH＝3，∴AC＝2了，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB，∵BF平面FAB，∴AC⊥BF.(2)解 存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，了，了，了的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2了，0)，E(－1，了，2).了假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设了＝λ，则λ>0，P了.设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z).由了＝了，了＝(0，2了，0)，得了即了令x＝1，则z＝了，所以m＝了为平面PAC的一个法向量.同理，可求得n＝了为平面BCEF的一个法向量.当m·n＝0，即λ＝了时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时了＝了.规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为了＝λ了，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.【训练3】 (2019·桂林模拟)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.了(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.(1)证明 设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O2＝AA了＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，∴AO2＋A1O2＝AA了，∴A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(了，0，0)，C(0，1，0)，D(－了，0，0)，A1(0，0，了)，C1(0，2，了).了由于了＝(－2了，0，0)，了＝(0，1，了)，了·了＝0×(－2了)＋1×0＋了×0＝0，∴了⊥了，即BD⊥AA1.(2)解 假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设了＝λ了，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0，1，了).从而有P(0，1＋λ，了λ)，了＝(－了，1＋λ，了λ).设平面DA1C1的法向量为n3＝(x3，y3，z3)，则了又了＝(0，2，0)，了＝(了，0，了)，则了取n3＝(1，0，－1)，因为BP∥平面DA1C1，则n3⊥了，即n3·了＝－了－了λ＝0，得λ＝－1，(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝________________________________________________________________________________________________________________.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.