题目

若极限 lim_(h to 0) (f(x_0 + 2h) - f(x_0))/(h) = (1)/(2)，则导数值 f'(x_0) = ( )。A. -(1)/(4)B. (1)/(4)C. (1)/(2)D. (1)/(3)

若极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = \frac{1}{2}$，则导数值 $f'(x_0) = (\quad)$。 A. $-\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{1}{3}$

题目解答

答案

我们已知： $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = \frac{1}{2} $$ 目标是求导数值 $ f'(x_0) $。 --- ### 第一步：理解已知极限的结构 我们观察到这个极限的分子是： $$ f(x_0 + 2h) - f(x_0) $$ 而分母是： $$ h $$ 所以这个极限可以理解为： $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} $$ 这个极限不是标准的导数定义，因为标准导数定义是： $$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 但我们可以通过变量替换，将它转换成标准形式。 --- ### 第二步：变量替换 令 $ t = 2h $，那么当 $ h \to 0 $ 时，$ t \to 0 $，并且： $$ h = \frac{t}{2} $$ 代入原极限： $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{\frac{t}{2}} = \lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} $$ 这个极限就变成了： $$ 2 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} = 2 \cdot f'(x_0) $$ --- ### 第三步：代入已知值 我们已知： $$ 2 \cdot f'(x_0) = \frac{1}{2} $$ 两边同时除以 2： $$ f'(x_0) = \frac{1}{4} $$ --- ### 最终答案： $$ \boxed{B. \frac{1}{4}} $$

解析

考查要点：本题主要考查导数的定义及其变形应用，需要学生理解极限形式与导数之间的关系，并能通过变量替换将非标准形式转换为标准导数形式。

解题核心思路：
题目给出的极限形式与导数定义式相似，但分子中的增量为$2h$，分母为$h$。通过变量替换，将增量统一为标准形式，从而建立已知极限与导数$f'(x_0)$的关系。

破题关键点：

  1. 识别非标准导数形式：分子增量为$2h$，分母为$h$，需调整变量使增量与分母一致。
  2. 变量替换：令$t = 2h$，将原极限转换为标准导数形式，进而求解。

步骤1：变量替换
令$t = 2h$，则当$h \to 0$时，$t \to 0$，且$h = \frac{t}{2}$。将原极限表达式代入：
$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{\frac{t}{2}} = \lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t}.$

步骤2：关联导数定义
根据导数定义，$\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} = f'(x_0)$，因此原极限可化简为：
$2 \cdot f'(x_0) = \frac{1}{2}.$

步骤3：求解导数值
解方程得：
$f'(x_0) = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}.$