题目
4.1.设函数f(x)在[0,1]上连续,且 (int )_(0)^1f(x)dx=0, (int )_(0)^1xf(x)dx=1, 试证:-|||-(1)存在 xi in [ 0,1] , 使得 |f(xi )|gt 4. (2)存在 in [ 0,1] , 使得 |f(n)|=4.
题目解答
答案
解析
步骤 1：反证法证明存在 $\xi \in [0,1]$ 使得 $|f(\xi)| > 4$
假定 $|f(x)| \leqslant 4$ 对所有 $x \in [0,1]$ 成立。则有
$$
\int_{0}^{1} |f(x)| dx \leqslant \int_{0}^{1} 4 dx = 4
$$
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} f(x) dx = 0$，则有
$$
\int_{0}^{1} f(x) dx = 0
$$
这与 $\int_{0}^{1} |f(x)| dx \leqslant 4$ 矛盾，因此存在 $\xi \in [0,1]$ 使得 $|f(\xi)| > 4$。
步骤 2：反证法证明存在 $\eta \in [0,1]$ 使得 $|f(\eta)| = 4$
假定 $|f(x)| \geqslant 4$ 对所有 $x \in [0,1]$ 成立。则有
$$
\int_{0}^{1} |f(x)| dx \geqslant \int_{0}^{1} 4 dx = 4
$$
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} f(x) dx = 0$，则有
$$
\int_{0}^{1} f(x) dx = 0
$$
这与 $\int_{0}^{1} |f(x)| dx \geqslant 4$ 矛盾，因此存在 $\eta \in [0,1]$ 使得 $|f(\eta)| = 4$。
假定 $|f(x)| \leqslant 4$ 对所有 $x \in [0,1]$ 成立。则有
$$
\int_{0}^{1} |f(x)| dx \leqslant \int_{0}^{1} 4 dx = 4
$$
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} f(x) dx = 0$，则有
$$
\int_{0}^{1} f(x) dx = 0
$$
这与 $\int_{0}^{1} |f(x)| dx \leqslant 4$ 矛盾，因此存在 $\xi \in [0,1]$ 使得 $|f(\xi)| > 4$。
步骤 2：反证法证明存在 $\eta \in [0,1]$ 使得 $|f(\eta)| = 4$
假定 $|f(x)| \geqslant 4$ 对所有 $x \in [0,1]$ 成立。则有
$$
\int_{0}^{1} |f(x)| dx \geqslant \int_{0}^{1} 4 dx = 4
$$
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} f(x) dx = 0$，则有
$$
\int_{0}^{1} f(x) dx = 0
$$
这与 $\int_{0}^{1} |f(x)| dx \geqslant 4$ 矛盾，因此存在 $\eta \in [0,1]$ 使得 $|f(\eta)| = 4$。