题目
5.填空题设L是三顶点为O(0,0)，A(3,0)，B(3,2)的三角形的正向边界，则oint_(L)(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy=____.
5.填空题
设L是三顶点为O(0,0)，A(3,0)，B(3,2)的三角形的正向边界，则$\oint_{L}(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy$=____.
题目解答
答案
利用格林公式，设 $P(x,y) = 2x - y + 4$，$Q(x,y) = 5y + 3x - 6$，则
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = 3, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1,
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 4.
\]
由格林公式，
\[
\oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} 4 \, dA = 4 \times \text{面积}.
\]
三角形面积为
\[
\text{面积} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3,
\]
故
\[
\oint_{L} P \, dx + Q \, dy = 4 \times 3 = 12.
\]
答案：$\boxed{12}$
解析
步骤 1：定义函数
设 $P(x,y) = 2x - y + 4$，$Q(x,y) = 5y + 3x - 6$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 3, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，有 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 将偏导数代入，得到 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} 4 \, dA. \]
步骤 4：计算积分
三角形面积为 \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3, \] 故 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = 4 \times 3 = 12. \]
设 $P(x,y) = 2x - y + 4$，$Q(x,y) = 5y + 3x - 6$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 3, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，有 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 将偏导数代入，得到 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} 4 \, dA. \]
步骤 4：计算积分
三角形面积为 \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3, \] 故 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = 4 \times 3 = 12. \]