求下列不定积分:-|||-14. int dfrac (dx)(3+{sin )^2x}

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是利用分部积分法和三角恒等式进行变量代换的能力。

解题核心思路：

1. 分部积分法：通过将积分表达式转换为关于$\cot x$的函数，利用$\cot x$的导数为$-\csc^2 x$，简化积分形式。
2. 变量代换：令$u = \cot x$，将原积分转化为关于$u$的有理分式积分。
3. 标准积分公式：利用$\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a} + C$完成最终计算。

破题关键点：

• 识别分母结构：将分母$3 + \sin^2 x$与$\csc^2 x$结合，通过三角恒等式$\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$进行变形。
• 灵活应用代换：通过$\cot x$的导数建立$dx$与$du$的关系，简化积分表达式。

步骤1：分部积分法转换积分形式
原积分：
$\int \frac{dx}{3 + \sin^2 x}$
利用$\cot x$的导数$d(\cot x) = -\csc^2 x \, dx$，将$dx$表示为：
$dx = -\frac{d(\cot x)}{\csc^2 x}$
代入原积分：
$\int \frac{-d(\cot x)}{\csc^2 x \cdot (3 + \sin^2 x)}$

步骤2：化简分母
将分母中的$\csc^2 x \cdot (3 + \sin^2 x)$展开：
$\csc^2 x \cdot (3 + \sin^2 x) = 3 \csc^2 x + 1$
利用$\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$，得：
$3(1 + \cot^2 x) + 1 = 3\cot^2 x + 4$
积分变为：
$-\int \frac{d(\cot x)}{3\cot^2 x + 4}$

步骤3：变量代换
令$u = \cot x$，则$du = -\csc^2 x \, dx$，积分简化为：
$-\int \frac{du}{3u^2 + 4}$

步骤4：应用标准积分公式
积分$\int \frac{du}{3u^2 + 4}$可变形为：
$\frac{1}{3} \int \frac{du}{u^2 + \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2}$
根据公式$\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a} + C$，得：
$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan \left( \frac{\sqrt{3}u}{2} \right) + C = \frac{1}{2\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{\sqrt{3}u}{2} \right) + C$

步骤5：回代变量并整理符号
将$u = \cot x$代入，并保留负号：
$-\frac{1}{2\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{\sqrt{3}\cot x}{2} \right) + C$