7.设随机变量X的密度函数为-|||-f(x)= { ); (3)X的分布函数F (x).

考查要点：本题主要考查概率密度函数的归一化条件、概率计算及分布函数的求解方法。

解题思路：

1. 常数c的确定：利用概率密度函数的归一化条件，即密度函数在定义域上的积分等于1。
2. 概率计算：根据密度函数的定义，计算指定区间的积分。
3. 分布函数：分段讨论不同区间内的积分结果，构建完整的分布函数表达式。

破题关键：

• 归一化条件是求解常数c的核心。
• 积分区间的选择直接影响概率计算的准确性。
• 分段处理是构建分布函数的关键，需注意不同区间的表达式。

第（1）题：求常数c的值

应用归一化条件

概率密度函数满足：
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
由于$f(x)$在$0 < x < 1$时为$c x^3$，其他区域为0，因此：
$\int_{0}^{1} c x^3 \, dx = 1$

计算积分

$c \int_{0}^{1} x^3 \, dx = c \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = c \cdot \frac{1}{4} = 1$

解得c

$c = 4$

第（2）题：求$P(-1 < X < \frac{1}{2})$

确定有效积分区间

由于$f(x)$在$x \leq 0$或$x \geq 1$时为0，实际积分区间为$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$：
$P\left(-1 < X < \frac{1}{2}\right) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 4 x^3 \, dx$

计算积分

$4 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^3 \, dx = 4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$

第（3）题：求分布函数$F(x)$

分段讨论

1. 当$x < 0$时：
   $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u) \, du = 0$

2. 当$0 \leq x \leq 1$时：
   $F(x) = \int_{0}^{x} 4 u^3 \, du = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$

3. 当$x > 1$时：
   $F(x) = \int_{0}^{1} 4 u^3 \, du = 1$

综合表达式

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\x^4, & 0 \leq x \leq 1, \\1, & x > 1.\end{cases}$