题目
7.计算以下间接测量的结果。-|||-(1)已知 =lg (x)_(2), =overline (x)pm (x)_(n)=1220pm 2 求y结果的表达式:-|||-(2)已知 =sin theta , theta =overline (theta )pm (u)_(0)=(45)^circ 30'(0)^circ pm (0)^circ 02' 求y结果的表达式.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查间接测量结果的误差传播计算，涉及对数函数和正弦函数的误差处理。
解题核心思路：
- 对数函数误差传播：利用误差传播公式，通过微分近似计算误差。
- 正弦函数误差传播：将角度转换为弧度后，应用误差传播公式计算误差。
破题关键点：
- 对数函数：误差传播公式为 $\Delta y = \frac{\Delta x}{x \ln 10}$。
- 正弦函数：误差传播公式为 $\Delta y = |\cos \theta| \cdot \Delta \theta$，需注意角度单位转换。
第（1）题
已知：$y = \lg x$，$x = \overline{x} \pm x_n = 1220 \pm 2$
步骤：
- 计算平均值的对数值：
$\overline{y} = \lg \overline{x} = \lg 1220$ - 计算误差传播：
$\Delta y = \frac{\Delta x}{\overline{x} \ln 10} = \frac{2}{1220 \cdot \ln 10} \approx 0.0056$ - 结果表达式：
$y = \lg 1220 \pm 0.0056$
第（2）题
已知：$y = \sin \theta$，$\theta = 45^\circ 30' \pm 0^\circ 02'$
步骤：
- 角度转换为弧度：
$45^\circ 30' = 45.5^\circ = \frac{45.5 \pi}{180} \approx 0.7937 \, \text{rad}$
$0^\circ 02' = \frac{2}{60}^\circ = \frac{\pi}{180 \cdot 30} \approx 0.0003 \, \text{rad}$ - 计算平均值的正弦值：
$\overline{y} = \sin 45^\circ 30' \approx \sin 0.7937 \approx 0.7105$ - 计算误差传播：
$\Delta y = |\cos \theta| \cdot \Delta \theta = \cos 0.7937 \cdot 0.0003 \approx 0.7036 \cdot 0.0003 \approx 0.00021$ - 结果表达式：
$y = \sin 45^\circ 30' \pm 0.00021$