题目
设(x)=dfrac (1)(1+{x)^2}+sqrt (1-{x)^2}(int )_(0)^1f(x)dx, 则 (int )_(0)^1f(x)dx=
设
题目解答
答案
原式=
解析
步骤 1：定义积分
设 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx = A$，则原式可以写为 $f(x)=\dfrac {1}{1+{x}^{2}}+A\sqrt {1-{x}^{2}}$。
步骤 2：计算积分
对 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上积分，得到 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx = {\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx + A{\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{x}^{2}}dx$。
步骤 3：计算两个积分
第一个积分 ${\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$ 是一个标准的反正切函数积分，结果为 $\arctan{x}\big|_{0}^{1} = \arctan{1} - \arctan{0} = \dfrac{\pi}{4}$。
第二个积分 ${\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{x}^{2}}dx$ 是一个半圆的面积，结果为 $\dfrac{\pi}{4}$。
步骤 4：求解方程
将两个积分的结果代入，得到 $A = \dfrac{\pi}{4} + A\dfrac{\pi}{4}$，解这个方程得到 $A = \dfrac{\pi}{4-\pi}$。
设 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx = A$，则原式可以写为 $f(x)=\dfrac {1}{1+{x}^{2}}+A\sqrt {1-{x}^{2}}$。
步骤 2：计算积分
对 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上积分，得到 ${\int }_{0}^{1}f(x)dx = {\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx + A{\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{x}^{2}}dx$。
步骤 3：计算两个积分
第一个积分 ${\int }_{0}^{1}\dfrac {1}{1+{x}^{2}}dx$ 是一个标准的反正切函数积分，结果为 $\arctan{x}\big|_{0}^{1} = \arctan{1} - \arctan{0} = \dfrac{\pi}{4}$。
第二个积分 ${\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{x}^{2}}dx$ 是一个半圆的面积，结果为 $\dfrac{\pi}{4}$。
步骤 4：求解方程
将两个积分的结果代入，得到 $A = \dfrac{\pi}{4} + A\dfrac{\pi}{4}$，解这个方程得到 $A = \dfrac{\pi}{4-\pi}$。