题目
29.设n阶矩阵A和B满足 +2B=AB.-|||-(1)证明: A-2E 为可逆矩阵,其中E为n阶单位矩阵;-|||-(2)证明: AB=BA ;-|||-1 2 0-|||-(3)已知B= -1 2 0 求矩阵A.-|||-0 0 3
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 A-2E 为可逆矩阵
由 A+2B=AB ,有 AB-2B-A+2E=2E ,即 $(A-2E)\cdot \dfrac {1}{2}(B-E)=E$ . 所以矩阵 A-2E 可逆.
步骤 2：证明 AB=BA
由(1)可知 ${(A-2E)}^{-1}=\dfrac {1}{2}(B-E)$. 那么 $(A-2E)\cdot \dfrac {1}{2}(B-E)=\dfrac {1}{2}(B-E)(A-2E)$ AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E - 故 AB=BA 。
步骤 3：求矩阵A
由 $(A-2E)\cdot \dfrac {1}{2}(B-E)=E$ 知 ${[ \dfrac {1}{2}(B-E)] }^{-1}=A-2E$ ,得 $A=2{(B-E)}^{-1}+2E$. 0 2 0 -1 因为(B-E)^-1= -1 1 0 = $\left (\begin{matrix} \dfrac {1}{2}& -1& 0\\ \dfrac {1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& \dfrac {1}{2}\end{matrix} ) \right.$ ,所以 0 0 2 1 -2 A= 1 0 $\left \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\end{matrix} \} \right.$ +2E= $\left (\begin{matrix} 3& -2& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{matrix} ) \right.$ 0 0
由 A+2B=AB ,有 AB-2B-A+2E=2E ,即 $(A-2E)\cdot \dfrac {1}{2}(B-E)=E$ . 所以矩阵 A-2E 可逆.
步骤 2：证明 AB=BA
由(1)可知 ${(A-2E)}^{-1}=\dfrac {1}{2}(B-E)$. 那么 $(A-2E)\cdot \dfrac {1}{2}(B-E)=\dfrac {1}{2}(B-E)(A-2E)$ AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E - 故 AB=BA 。
步骤 3：求矩阵A
由 $(A-2E)\cdot \dfrac {1}{2}(B-E)=E$ 知 ${[ \dfrac {1}{2}(B-E)] }^{-1}=A-2E$ ,得 $A=2{(B-E)}^{-1}+2E$. 0 2 0 -1 因为(B-E)^-1= -1 1 0 = $\left (\begin{matrix} \dfrac {1}{2}& -1& 0\\ \dfrac {1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& \dfrac {1}{2}\end{matrix} ) \right.$ ,所以 0 0 2 1 -2 A= 1 0 $\left \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\end{matrix} \} \right.$ +2E= $\left (\begin{matrix} 3& -2& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{matrix} ) \right.$ 0 0