函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 在 (-infty, 0) 区间的单调性是怎样的?A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增

本题考查利用导数判断函数的单调性。解题思路是先对给定函数求导，再根据导数在指定区间的正负性来判断函数的单调性。

1. 求函数$f(x)=\ln(x^2 + 1)$的导数：
   • 根据复合函数求导公式$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u = x^2 + 1$，则$f(u)=\ln u$。
   • 先对$f(u)=\ln u$关于$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$f^\prime(u)=\frac{1}{u}$。
   • 再对$u = x^2 + 1$关于$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u^\prime=(x^2 + 1)^\prime=2x$。
   • 由复合函数求导公式可得$f^\prime(x)=f^\prime(u)\cdot u^\prime=\frac{1}{x^2 + 1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2 + 1}$。
2. 判断导数在区间$(-\infty, 0)$的正负性：
   • 当$x\in(-\infty, 0)$时，$x^2 + 1\gt 0$恒成立，因为任何实数的平方都大于等于$0$，再加上$1$肯定大于$0$。
   • 而$2x\lt 0$（因为$x\lt 0$）。
   • 所以$f^\prime(x)=\frac{2x}{x^2 + 1}\lt 0$在$(-\infty, 0)$上恒成立。
3. 根据导数与单调性的关系得出结论：
   • 根据导数的性质，当函数的导数在某区间上小于$0$时，函数在该区间上单调递减。
   • 由于$f^\prime(x)\lt 0$在$(-\infty, 0)$上恒成立，所以函数$f(x)=\ln(x^2 + 1)$在$(-\infty, 0)$区间单调递减。