7.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1.证明：存在xi，etain(a,b)，使 e^eta-xi[f(eta)+f'(eta)]=1.
题目解答
答案
定义函数 $F(x) = e^x f(x)$，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足拉格朗日中值定理。存在 $\eta \in (a, b)$，使得
$F'(\eta) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a} = \frac{e^b - e^a}{b - a}.$
又 $F'(x) = e^x [f(x) + f'(x)]$，故
$e^\eta [f(\eta) + f'(\eta)] = \frac{e^b - e^a}{b - a}.$
对函数 $g(x) = e^x$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$e^\xi = \frac{e^b - e^a}{b - a}.$
因此，
$e^\eta [f(\eta) + f'(\eta)] = e^\xi \implies e^{\eta - \xi} [f(\eta) + f'(\eta)] = 1.$
答案：
$\boxed{e^{\eta - \xi} [f(\eta) + f'(\eta)] = 1}$
解析
考查要点：本题主要考查微分中值定理的应用，特别是拉格朗日中值定理的构造性使用，以及通过构造辅助函数将问题转化为定理适用条件的能力。
解题核心思路：
- 构造辅助函数：通过引入指数函数与原函数的乘积，将原问题转化为新函数的导数形式。
- 两次应用拉格朗日中值定理：第一次用于构造的辅助函数，得到关于$\eta$的等式；第二次直接对指数函数应用，得到关于$\xi$的等式。
- 联立两个等式，消去中间量，最终得到目标方程。
破题关键点：
- 选择$F(x) = e^x f(x)$，使得其导数自然包含$f(x) + f'(x)$，与目标方程中的项对应。
- 灵活应用拉格朗日定理两次，分别针对不同函数，建立联系。
构造辅助函数
定义函数$F(x) = e^x f(x)$。
- 连续性：$f(x)$在$[a,b]$连续，$e^x$连续，故$F(x)$在$[a,b]$连续。
- 可导性：$f(x)$在$(a,b)$可导，$e^x$可导，故$F(x)$在$(a,b)$可导。
因此，$F(x)$满足拉格朗日中值定理的条件。
应用拉格朗日定理于$F(x)$
存在$\eta \in (a,b)$，使得：
$F'(\eta) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a} = \frac{e^b f(b) - e^a f(a)}{b - a}.$
由于$f(a) = f(b) = 1$，代入得：
$F'(\eta) = \frac{e^b - e^a}{b - a}.$
计算$F'(x)$
$F'(x) = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x [f(x) + f'(x)].$
因此，原式可改写为：
$e^\eta [f(\eta) + f'(\eta)] = \frac{e^b - e^a}{b - a}.$
应用拉格朗日定理于$g(x) = e^x$
函数$g(x) = e^x$在$[a,b]$上连续可导，存在$\xi \in (a,b)$，使得：
$g'(\xi) = \frac{g(b) - g(a)}{b - a} \implies e^\xi = \frac{e^b - e^a}{b - a}.$
联立两式
将$e^\xi = \frac{e^b - e^a}{b - a}$代入前式，得：
$e^\eta [f(\eta) + f'(\eta)] = e^\xi \implies e^{\eta - \xi} [f(\eta) + f'(\eta)] = 1.$