设随机变量 X 在 [-(1)/(2), (1)/(2)] 上服从均匀分布，又 Y = sin ax，则 D(Y)= ( )A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. (1)/(4)D. (1)/(5)

考查要点：本题主要考查均匀分布的方差计算，以及利用奇偶函数的积分性质简化计算过程。

解题核心思路：

1. 确定概率密度函数：由于$X$在$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$上服从均匀分布，其概率密度函数为$f(x) = 1$。
2. 计算期望$E(Y)$：利用奇函数在对称区间上的积分性质，直接得出$E(Y) = 0$。
3. 计算$E(Y^2)$：通过三角恒等式$\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$展开，并结合偶函数的积分性质简化计算。
4. 求方差$D(Y)$：根据方差公式$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$得出结果。

破题关键点：

• 奇偶性简化积分：利用$\sin(\pi x)$为奇函数，直接得出$E(Y) = 0$。
• 三角恒等式应用：将$\sin^2(\pi x)$转化为$\frac{1 - \cos(2\pi x)}{2}$，简化积分计算。
• 对称区间积分性质：$\cos(2\pi x)$在对称区间上的积分为零。

1. 计算期望$E(Y)$

由于$Y = \sin(\pi X)$，且$\sin(\pi x)$在$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$上是奇函数，积分结果为0：
$E(Y) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sin(\pi x) \cdot 1 \, dx = 0.$

2. 计算$E(Y^2)$

利用三角恒等式$\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$：
$E(Y^2) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sin^2(\pi x) \, dx = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2} \, dx.$
拆分为两部分积分：
$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \, dx - \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\cos(2\pi x)}{2} \, dx.$
第一项积分结果为$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$，第二项中$\cos(2\pi x)$在对称区间上的积分为0，因此：
$E(Y^2) = \frac{1}{2}.$

3. 计算方差$D(Y)$

根据方差公式：
$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \frac{1}{2} - 0^2 = \frac{1}{2}.$