题目
求定积分：∫(;)_(0)^2f（x）dx，其中f（x）={x+1，x≤1)(1)/(2){x)^2，x＞1}.．
求定积分：∫${\;}_{0}^{2}$f（x）dx，其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤1}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}，x＞1}\end{array}\right.$．
题目解答
答案
解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤1}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}，x＞1}\end{array}\right.$．
∫${\;}_{0}^{2}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}（x+1）dx+{∫}_{1}^{2}（\frac{1}{2}{x}^{2}）dx$=（$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x）${|}_{0}^{1}$+$\frac{1}{6}{x}^{3}{|}_{1}^{2}$
=$\frac{3}{2}$+$\frac{8}{6}$$-\frac{1}{6}$
=$\frac{8}{3}$．
∫${\;}_{0}^{2}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}（x+1）dx+{∫}_{1}^{2}（\frac{1}{2}{x}^{2}）dx$=（$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x）${|}_{0}^{1}$+$\frac{1}{6}{x}^{3}{|}_{1}^{2}$
=$\frac{3}{2}$+$\frac{8}{6}$$-\frac{1}{6}$
=$\frac{8}{3}$．
解析
步骤 1：确定积分区间
根据题目，积分区间为[0, 2]，而函数f(x)在x≤1和x＞1时有不同的表达式，因此需要将积分区间分为两部分：[0, 1]和(1, 2]。
步骤 2：计算第一部分的积分
在区间[0, 1]上，f(x) = x + 1，因此需要计算∫${\;}_{0}^{1}$(x + 1)dx。根据积分的基本公式，∫(x + 1)dx = $\frac{1}{2}x^2 + x + C$，其中C为积分常数。因此，∫${\;}_{0}^{1}$(x + 1)dx = ($\frac{1}{2}x^2 + x$)${|}_{0}^{1}$ = $\frac{1}{2} + 1 - 0$ = $\frac{3}{2}$。
步骤 3：计算第二部分的积分
在区间(1, 2]上，f(x) = $\frac{1}{2}x^2$，因此需要计算∫${\;}_{1}^{2}$$\frac{1}{2}x^2$dx。根据积分的基本公式，∫$\frac{1}{2}x^2$dx = $\frac{1}{6}x^3 + C$，其中C为积分常数。因此，∫${\;}_{1}^{2}$$\frac{1}{2}x^2$dx = ($\frac{1}{6}x^3$)${|}_{1}^{2}$ = $\frac{8}{6} - \frac{1}{6}$ = $\frac{7}{6}$。
步骤 4：合并两部分的积分结果
将步骤2和步骤3的结果相加，得到∫${\;}_{0}^{2}$f(x)dx = $\frac{3}{2} + \frac{7}{6}$ = $\frac{9}{6} + \frac{7}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$。
根据题目，积分区间为[0, 2]，而函数f(x)在x≤1和x＞1时有不同的表达式，因此需要将积分区间分为两部分：[0, 1]和(1, 2]。
步骤 2：计算第一部分的积分
在区间[0, 1]上，f(x) = x + 1，因此需要计算∫${\;}_{0}^{1}$(x + 1)dx。根据积分的基本公式，∫(x + 1)dx = $\frac{1}{2}x^2 + x + C$，其中C为积分常数。因此，∫${\;}_{0}^{1}$(x + 1)dx = ($\frac{1}{2}x^2 + x$)${|}_{0}^{1}$ = $\frac{1}{2} + 1 - 0$ = $\frac{3}{2}$。
步骤 3：计算第二部分的积分
在区间(1, 2]上，f(x) = $\frac{1}{2}x^2$，因此需要计算∫${\;}_{1}^{2}$$\frac{1}{2}x^2$dx。根据积分的基本公式，∫$\frac{1}{2}x^2$dx = $\frac{1}{6}x^3 + C$，其中C为积分常数。因此，∫${\;}_{1}^{2}$$\frac{1}{2}x^2$dx = ($\frac{1}{6}x^3$)${|}_{1}^{2}$ = $\frac{8}{6} - \frac{1}{6}$ = $\frac{7}{6}$。
步骤 4：合并两部分的积分结果
将步骤2和步骤3的结果相加，得到∫${\;}_{0}^{2}$f(x)dx = $\frac{3}{2} + \frac{7}{6}$ = $\frac{9}{6} + \frac{7}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$。