如果齐次线性方程组 } kx + y + z = 0 x + y - z = 0 x - y + kz = 0 有非零解，K 应取 (）A. -2B. 4C. -1D. 3

本题考查齐次线性方程组有非零解的条件，解题思路是根据齐次线性方程组有非零解的条件得到系数矩阵的行列式为零，进而求解$k$的值。

1. 对于齐次线性方程组$\begin{cases} kx + y + z = 0 \\ x + y - z = 0 \\ x - y + kz = 0 \end{cases}$，若它有非零解，则其系数矩阵$A=\begin{pmatrix}k&1&1\\1&1& -1\\1& -1&k\end{pmatrix}$的行列式$\vert A\vert = 0$。
2. 计算行列式$\vert A\vert$：
   • 按三阶行列式的展开法则$\vert A\vert=k\begin{vmatrix}1& -1\\ -1&k\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1& -1\\1&k\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&1\\1& -1\end{vmatrix}$。
   • 分别计算二阶行列式：
     • $\begin{vmatrix}1& -1\\ -1&k\end{vmatrix}=1\times k - (-1)\times (-1)=k - 1$。
     • $\begin{vmatrix}1& -1\\1&k\end{vmatrix}=1\times k - 1\times (-1)=k + 1$。
     • $\begin{vmatrix}1&1\\1& -1\end{vmatrix}=1\times (-1) - 1\times 1=-2$。
   • 则$\vert A\vert=k(k - 1)-(k + 1)-2$。
   • 展开式子得$\vert A\vert=k^2 - k - k - 1 - 2=k^2 - 2k - 3$。
3. 令$\vert A\vert = 0$，即$k^2 - 2k - 3 = 0$。
   • 因式分解得$(k - 3)(k + 1)=0$。
   • 解得$k = 3$或$k = -1$。