题目
设a=(3, 5, −2), b=(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa+μb与z轴垂直?
设a=(3, 5, −2), b=(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa+μb与z轴垂直?
题目解答
答案
解 λa+μb=(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ),
λa+μb与z轴垂⇔λa+μb ⊥k
⇔(3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,
即−2λ+4μ=0, 所以λ=2μ . 当λ=2μ 时, λa+μb与z轴垂直.
解析
步骤 1：定义向量
给定向量 a=(3, 5, −2) 和 b=(2, 1, 4)。
步骤 2：计算线性组合
计算 λa+μb 的值，即 (3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)。
步骤 3：垂直条件
λa+μb 与 z 轴垂直，意味着 λa+μb 与 z 轴的方向向量 k=(0, 0, 1) 的点积为 0。
步骤 4：计算点积
计算 (3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0，即 −2λ+4μ=0。
步骤 5：求解关系
解方程 −2λ+4μ=0，得到 λ=2μ。
给定向量 a=(3, 5, −2) 和 b=(2, 1, 4)。
步骤 2：计算线性组合
计算 λa+μb 的值，即 (3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)。
步骤 3：垂直条件
λa+μb 与 z 轴垂直，意味着 λa+μb 与 z 轴的方向向量 k=(0, 0, 1) 的点积为 0。
步骤 4：计算点积
计算 (3λ+2μ, 5λ+μ, −2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0，即 −2λ+4μ=0。
步骤 5：求解关系
解方程 −2λ+4μ=0，得到 λ=2μ。