如图8.38所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度.q P x-|||------|||-L-|||-d

步骤 1：确定电荷线密度
设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向，带电直杆的电荷线密度为$\lambda = \frac{q}{L}$。

步骤 2：计算电荷元在P点的场强
在x处取一电荷元$dq = \lambda dx = \frac{q}{L}dx$，则它在P点的场强为：
$E = \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 (L+d-x)^2} = \frac{qdx}{4\pi \varepsilon_0 L (L+d-x)^2}$

步骤 3：计算总场强
总场强为电荷元在P点的场强的积分，即：
$E_{total} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 L} \int_{0}^{L} \frac{dx}{(L+d-x)^2}$

步骤 4：计算积分
积分计算如下：
$E_{total} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 L} \int_{0}^{L} \frac{dx}{(L+d-x)^2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left[ -\frac{1}{L+d-x} \right]_{0}^{L} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{L+d} \right)$

步骤 5：化简总场强表达式
化简总场强表达式，得到：
$E_{total} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{L+d} \right) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{d(L+d)} \right)$