题目
一段 半径 a 的细圆弧其左半部分均匀分布 Y- 有电荷线密度为的负电荷，右半部分均 Y- 匀分布有电荷线密度为的正电荷,两部分对圆心的张角均为Y-，如图所示求圆心O处的电场强度及电势。Y-
一段 半径 a 的细圆弧其左半部分均匀分布 
有电荷线密度为的负电荷，右半部分均 
匀分布有电荷线密度为的正电荷,两部分对圆心的张角均为
，如图所示求圆心O处的电场强度及电势。
题目解答
答案
如图，在左半部分
处取微元，长度为dl,对应的角度
,
，微元具有的电荷
根据库伦定律，微元在圆心O产生的电场强度为
,电场强度在x轴上的分量为
,而电场强度在y轴上的分量,左右两个部分相对应的位置相互抵消。
如下图所示,左半部分，从0积分到，得左半部分的电场强度在x轴上的分量的总和为
同理在右边取微元,长度为dl',对应的角度
，从0积分到，得右半部分的电场强度在x轴上的分量的总和为
圆心O处的电场强度大小为,左右电场强度大小之和
方向沿着x轴负方向。
规定无穷远处的电势为零，在左半部分处取微元，根据·
,两边从距离微元a处的O点积分到无穷远处
,即
得微元在O点产生的
,左半部分，从0积分到，得左半部分的电势
同理可得右边部分的电势
圆心O处的电势为左右电势之和
解析
步骤 1：确定微元电荷
在左半部分圆弧上取微元，长度为dl，对应的角度为dθ，微元的长度dl = a·dθ。微元具有的电荷为dq = -λ·dl = -λa·dθ。在右半部分圆弧上取微元，长度为dl'，对应的角度为dθ'，微元的长度dl' = a·dθ'。微元具有的电荷为dq' = λ·dl' = λa·dθ'。
步骤 2：计算电场强度
根据库伦定律，微元在圆心O产生的电场强度为dE = dq / (4πε₀a²)。电场强度在x轴上的分量为dEx = dE·cosθ = (dq / (4πε₀a²))·cosθ。电场强度在y轴上的分量为dEy = dE·sinθ = (dq / (4πε₀a²))·sinθ。由于左右两个部分相对应的位置相互抵消，所以y轴上的分量相互抵消，只考虑x轴上的分量。
步骤 3：积分计算电场强度
左半部分，从0积分到θ₀，得左半部分的电场强度在x轴上的分量的总和为Ex = ∫₀^θ₀ (dq / (4πε₀a²))·cosθ dθ = (-λa / (4πε₀a²)) ∫₀^θ₀ cosθ dθ = (-λ / (4πε₀a)) (sinθ₀ - sin0) = (-λ / (4πε₀a)) sinθ₀。同理，在右边取微元，从0积分到θ₀，得右半部分的电场强度在x轴上的分量的总和为Ex' = ∫₀^θ₀ (dq' / (4πε₀a²))·cosθ' dθ' = (λa / (4πε₀a²)) ∫₀^θ₀ cosθ' dθ' = (λ / (4πε₀a)) (sinθ₀ - sin0) = (λ / (4πε₀a)) sinθ₀。圆心O处的电场强度大小为，左右电场强度大小之和E₀ = Ex + Ex' = (-λ / (4πε₀a)) sinθ₀ + (λ / (4πε₀a)) sinθ₀ = (λ / (2πε₀a)) (1 - cosθ₀)。方向沿着x轴负方向。
步骤 4：计算电势
规定无穷远处的电势为零，在左半部分圆弧上取微元，根据dφ = E·dr，两边从距离微元a处的O点积分到无穷远处dφ = E·dr，即φ|∞ = (dq / (4πε₀a))|∞。得微元在O点产生的dφ = dq / (4πε₀a)。左半部分，从0积分到θ₀，得左半部分的电势φ = ∫₀^θ₀ (dq / (4πε₀a)) dθ = (-λa / (4πε₀a)) ∫₀^θ₀ dθ = (-λ / (4πε₀)) θ₀。同理可得右边部分的电势φ' = ∫₀^θ₀ (dq' / (4πε₀a)) dθ' = (λa / (4πε₀a)) ∫₀^θ₀ dθ' = (λ / (4πε₀)) θ₀。圆心O处的电势为左右电势之和φ₀ = φ + φ' = (-λ / (4πε₀)) θ₀ + (λ / (4πε₀)) θ₀ = 0。
在左半部分圆弧上取微元，长度为dl，对应的角度为dθ，微元的长度dl = a·dθ。微元具有的电荷为dq = -λ·dl = -λa·dθ。在右半部分圆弧上取微元，长度为dl'，对应的角度为dθ'，微元的长度dl' = a·dθ'。微元具有的电荷为dq' = λ·dl' = λa·dθ'。
步骤 2：计算电场强度
根据库伦定律，微元在圆心O产生的电场强度为dE = dq / (4πε₀a²)。电场强度在x轴上的分量为dEx = dE·cosθ = (dq / (4πε₀a²))·cosθ。电场强度在y轴上的分量为dEy = dE·sinθ = (dq / (4πε₀a²))·sinθ。由于左右两个部分相对应的位置相互抵消，所以y轴上的分量相互抵消，只考虑x轴上的分量。
步骤 3：积分计算电场强度
左半部分，从0积分到θ₀，得左半部分的电场强度在x轴上的分量的总和为Ex = ∫₀^θ₀ (dq / (4πε₀a²))·cosθ dθ = (-λa / (4πε₀a²)) ∫₀^θ₀ cosθ dθ = (-λ / (4πε₀a)) (sinθ₀ - sin0) = (-λ / (4πε₀a)) sinθ₀。同理，在右边取微元，从0积分到θ₀，得右半部分的电场强度在x轴上的分量的总和为Ex' = ∫₀^θ₀ (dq' / (4πε₀a²))·cosθ' dθ' = (λa / (4πε₀a²)) ∫₀^θ₀ cosθ' dθ' = (λ / (4πε₀a)) (sinθ₀ - sin0) = (λ / (4πε₀a)) sinθ₀。圆心O处的电场强度大小为，左右电场强度大小之和E₀ = Ex + Ex' = (-λ / (4πε₀a)) sinθ₀ + (λ / (4πε₀a)) sinθ₀ = (λ / (2πε₀a)) (1 - cosθ₀)。方向沿着x轴负方向。
步骤 4：计算电势
规定无穷远处的电势为零，在左半部分圆弧上取微元，根据dφ = E·dr，两边从距离微元a处的O点积分到无穷远处dφ = E·dr，即φ|∞ = (dq / (4πε₀a))|∞。得微元在O点产生的dφ = dq / (4πε₀a)。左半部分，从0积分到θ₀，得左半部分的电势φ = ∫₀^θ₀ (dq / (4πε₀a)) dθ = (-λa / (4πε₀a)) ∫₀^θ₀ dθ = (-λ / (4πε₀)) θ₀。同理可得右边部分的电势φ' = ∫₀^θ₀ (dq' / (4πε₀a)) dθ' = (λa / (4πε₀a)) ∫₀^θ₀ dθ' = (λ / (4πε₀)) θ₀。圆心O处的电势为左右电势之和φ₀ = φ + φ' = (-λ / (4πε₀)) θ₀ + (λ / (4πε₀)) θ₀ = 0。