题目
若 y_1(x) 是微分方程 y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) 的解， y_2(x) 是微分方程 y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_2(x) 的解，则____一定是微分方程 y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x)+ f_2(x) 的解.A. y_1(x)+ y_2(x)B. y_1(x)- y_2(x)C. y_1(x)cdot y_2(x)D. y_1(x)
若 $y_1(x)$ 是微分方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x)$ 的解， $y_2(x)$ 是微分方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_2(x)$ 的解，则____一定是微分方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x)+ f_2(x)$ 的解.
A. $y_1(x)+ y_2(x)$
B. $y_1(x)- y_2(x)$
C. $y_1(x)\cdot y_2(x)$
D. $y_1(x)$
题目解答
答案
A. $y_1(x)+ y_2(x)$
解析
步骤 1：理解线性微分方程的叠加原理
线性微分方程的叠加原理指出，如果 $y_1(x)$ 是方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x)$ 的解，$y_2(x)$ 是方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_2(x)$ 的解，那么它们的线性组合 $y_1(x) + y_2(x)$ 也是方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$ 的解。这是因为微分方程的线性性质允许解的叠加。
步骤 2：验证选项
A. $y_1(x) + y_2(x)$：根据叠加原理，这是正确的。
B. $y_1(x) - y_2(x)$：这不是正确的，因为 $y_1(x) - y_2(x)$ 对应的非齐次项为 $f_1(x) - f_2(x)$，而不是 $f_1(x) + f_2(x)$。
C. $y_1(x) \cdot y_2(x)$：这不是正确的，因为非线性组合不具有叠加性。
D. $y_1(x)$：这不是正确的，因为 $y_1(x)$ 仅满足原方程之一，而不是 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$。
线性微分方程的叠加原理指出，如果 $y_1(x)$ 是方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x)$ 的解，$y_2(x)$ 是方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_2(x)$ 的解，那么它们的线性组合 $y_1(x) + y_2(x)$ 也是方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$ 的解。这是因为微分方程的线性性质允许解的叠加。
步骤 2：验证选项
A. $y_1(x) + y_2(x)$：根据叠加原理，这是正确的。
B. $y_1(x) - y_2(x)$：这不是正确的，因为 $y_1(x) - y_2(x)$ 对应的非齐次项为 $f_1(x) - f_2(x)$，而不是 $f_1(x) + f_2(x)$。
C. $y_1(x) \cdot y_2(x)$：这不是正确的，因为非线性组合不具有叠加性。
D. $y_1(x)$：这不是正确的，因为 $y_1(x)$ 仅满足原方程之一，而不是 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$。