题目
5.设f(x)=}e^x-1,-pileqslant x<0,e^x+1,0leqslant x<pi,的和为多少?
5.设$f(x)=\begin{cases}e^{x}-1,-\pi\leqslant x<0,\\e^{x}+1,0\leqslant x<\pi,\end{cases}a_{0},a_{n}(n=1,2,\cdots)$为f(x)的傅里叶系数，则数项级数$\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$的和为多少?
题目解答
答案
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的左极限为 $f(0^-) = e^0 - 1 = 0$，右极限为 $f(0^+) = e^0 + 1 = 2$。根据傅里叶级数的收敛性质，当 $x=0$ 时，级数收敛到左右极限的平均值：
$$
\frac{1}{2}[f(0^-) + f(0^+)] = \frac{1}{2}[0 + 2] = 1.
$$
傅里叶级数在 $x=0$ 处为：
$$
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(n \cdot 0) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(n \cdot 0) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n.
$$
因此，数项级数 $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n$ 的和为 $\boxed{1}$。