题目
求下列极限：lim _(xarrow 0)dfrac (1)(x)(dfrac (1)(sin x)-dfrac (1)(tan x))-|||-__ __
求下列极限：
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简表达式
首先，将给定的极限表达式化简为更易于处理的形式。原表达式为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1}{\sin x}-\dfrac {1}{\tan x})$$
由于 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，我们可以将表达式重写为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1}{\sin x}-\dfrac {\cos x}{\sin x})$$
进一步化简得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1-\cos x}{\sin x})$$
步骤 2：应用等价无穷小替换
当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x$ 与 $\dfrac{1}{2}x^2$ 等价，$\sin x$ 与 $x$ 等价。因此，原极限可以进一步化简为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {\dfrac{1}{2}x^2}{x})$$
步骤 3：计算极限
将上述表达式简化，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1}{2}x)$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{2}$$
首先，将给定的极限表达式化简为更易于处理的形式。原表达式为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1}{\sin x}-\dfrac {1}{\tan x})$$
由于 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，我们可以将表达式重写为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1}{\sin x}-\dfrac {\cos x}{\sin x})$$
进一步化简得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1-\cos x}{\sin x})$$
步骤 2：应用等价无穷小替换
当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos x$ 与 $\dfrac{1}{2}x^2$ 等价，$\sin x$ 与 $x$ 等价。因此，原极限可以进一步化简为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {\dfrac{1}{2}x^2}{x})$$
步骤 3：计算极限
将上述表达式简化，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1}{2}x)$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{2}$$