求下列极限：lim _(xarrow 0)dfrac (1)(x)(dfrac (1)(sin x)-dfrac (1)(tan x))-|||-__ __

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及三角函数的等价无穷小替换、泰勒展开的应用，以及极限的拆分与化简技巧。

解题核心思路：

1. 化简表达式：将原式中的三角函数进行通分，转化为更易处理的形式。
2. 等价无穷小替换：利用 $\sin x \sim x$ 和 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ 简化分子和分母。
3. 泰勒展开：通过展开 $\tan x$ 和 $\sin x$ 的高阶项，分析分子的主部，结合分母的次数求解极限。
4. 极限拆分：将分子拆分为两个部分，分别利用已知极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}$ 和 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$。

步骤1：通分化简原式
原式为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}\left(\dfrac {1}{\sin x}-\dfrac {1}{\tan x}\right)$
将 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ 代入，得：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x} \cdot \dfrac{1 - \cos x}{\sin x}$

步骤2：分子分母等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$，因此：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x} \cdot \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{2}$

步骤3：泰勒展开验证
展开 $\tan x$ 和 $\sin x$：
$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \cdots, \quad \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots$
则 $\tan x - \sin x = \dfrac{x^3}{2} + \cdots$，代入原式：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{x^3}{2}}{x^3} = \dfrac{1}{2}$

步骤4：极限拆分法
将分子拆分为 $\tan x - x$ 和 $x - \sin x$：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3} + \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x - \sin x}{x^3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$