题目
- 36 如图所示,在光滑的水平面上有一轻质弹簧 ( 其劲度系数为 k) ,它 的一端固定,另一端系一质量为 m′的滑块 . 最初滑块静止时,弹簧呈自然长 度 l0 ,今有一质量为 m 的子弹以速度 v0 沿水平方向并垂直于弹簧轴线射 向滑块且留在其中,滑块在水平面内滑动,当弹簧被拉伸至长度 l 时,求滑 块速度 v 的大小和方向 .
- 36 如图所示,在光滑的水平面上有一轻质弹簧 ( 其劲度系数为 k) ,它 的一端固定,另一端系一质量为 m′的滑块 . 最初滑块静止时,弹簧呈自然长 度 l0 ,今有一质量为 m 的子弹以速度 v0 沿水平方向并垂直于弹簧轴线射 向滑块且留在其中,滑块在水平面内滑动,当弹簧被拉伸至长度 l 时,求滑 块速度 v 的大小和方向 .
题目解答
答案
分析 该题可分两个过程来分析 .( 1)子弹与滑块撞击的过程 . 因滑块所系的 是轻质弹簧 (质量不计 ) ,因此,子弹射入滑块可视为质点系的完全非弹性碰 撞过程 . 沿子弹运动方向上外力的冲量为零,所以,系统在撞击过程中满足 动量守恒,由此,可求出它们碰撞后的速度 v ′.( 2) 子弹与滑块碰后以共同速度运动时, 由于弹簧不断伸长, 滑块在受到指向固定点的弹力的作用下作 弧线运动 . 对滑块的运动而言,该弹力为有心力,不产生力矩,因而滑块在 运动中满足角动量守恒; 与此同时, 对滑块、 弹簧所组成的系统也满足机械 能守恒 . 这样,当弹簧伸长至 l 时的滑块速度 v 的大小和方向就可通过三条守恒定律求得 .解 子弹射入滑块瞬间,因属非弹性碰撞,根据动量守恒定律有mv0 m m v ( 1) 在弹簧的弹力作用下, 滑块与子弹一起运动的过程中, 若将弹簧包括在系统 内,则系统满足机械能守恒定律,有
解析
步骤 1：子弹与滑块的完全非弹性碰撞
子弹以速度 \(v_0\) 射向滑块，由于子弹留在滑块中，这是一个完全非弹性碰撞过程。根据动量守恒定律，碰撞前后系统的总动量保持不变。因此，有：
\[mv_0 = (m + m')v'\]
其中，\(v'\) 是子弹与滑块碰撞后共同的速度。
步骤 2：计算碰撞后共同速度 \(v'\)
根据步骤 1 的动量守恒方程，可以解出碰撞后共同速度 \(v'\)：
\[v' = \frac{mv_0}{m + m'}\]
步骤 3：滑块与子弹共同运动时的机械能守恒
当弹簧被拉伸至长度 \(l\) 时，滑块与子弹共同运动，此时系统满足机械能守恒。机械能守恒定律表明，系统的动能与势能之和保持不变。因此，有：
\[\frac{1}{2}(m + m')v'^2 + \frac{1}{2}k(l - l_0)^2 = \frac{1}{2}(m + m')v^2 + \frac{1}{2}k(l - l_0)^2\]
其中，\(v\) 是弹簧被拉伸至长度 \(l\) 时滑块的速度，\(l_0\) 是弹簧的自然长度，\(k\) 是弹簧的劲度系数。
步骤 4：计算滑块速度 \(v\)
根据步骤 3 的机械能守恒方程，可以解出滑块速度 \(v\)：
\[v = v'\]
由于在弹簧被拉伸的过程中，滑块与子弹的共同速度 \(v'\) 保持不变，因此，当弹簧被拉伸至长度 \(l\) 时，滑块的速度 \(v\) 与碰撞后共同速度 \(v'\) 相等。
子弹以速度 \(v_0\) 射向滑块，由于子弹留在滑块中，这是一个完全非弹性碰撞过程。根据动量守恒定律，碰撞前后系统的总动量保持不变。因此，有：
\[mv_0 = (m + m')v'\]
其中，\(v'\) 是子弹与滑块碰撞后共同的速度。
步骤 2：计算碰撞后共同速度 \(v'\)
根据步骤 1 的动量守恒方程，可以解出碰撞后共同速度 \(v'\)：
\[v' = \frac{mv_0}{m + m'}\]
步骤 3：滑块与子弹共同运动时的机械能守恒
当弹簧被拉伸至长度 \(l\) 时，滑块与子弹共同运动，此时系统满足机械能守恒。机械能守恒定律表明，系统的动能与势能之和保持不变。因此，有：
\[\frac{1}{2}(m + m')v'^2 + \frac{1}{2}k(l - l_0)^2 = \frac{1}{2}(m + m')v^2 + \frac{1}{2}k(l - l_0)^2\]
其中，\(v\) 是弹簧被拉伸至长度 \(l\) 时滑块的速度，\(l_0\) 是弹簧的自然长度，\(k\) 是弹簧的劲度系数。
步骤 4：计算滑块速度 \(v\)
根据步骤 3 的机械能守恒方程，可以解出滑块速度 \(v\)：
\[v = v'\]
由于在弹簧被拉伸的过程中，滑块与子弹的共同速度 \(v'\) 保持不变，因此，当弹簧被拉伸至长度 \(l\) 时，滑块的速度 \(v\) 与碰撞后共同速度 \(v'\) 相等。