5.求证: ((1+dfrac {1)(n))}^nlt 3(n=1,2,... )

考查要点：本题主要考查利用二项式定理展开表达式，并通过放缩法证明不等式。关键在于将展开后的各项进行合理估计，转化为可求和的级数。

解题思路：

1. 基础验证：当$n=1$时直接验证不等式成立。
2. 二项式展开：对$(1+\frac{1}{n})^n$进行二项式展开，分析各项的和。
3. 放缩技巧：对展开式中$k \geq 2$的项进行放缩，利用$\frac{1}{k(k-1)}$的形式构造望远镜级数。
4. 求和简化：通过望远镜求和得到总和小于$3$。

破题关键：发现二项式展开后各项的递减性，并将高阶项转化为可累加抵消的形式，从而简化总和。

当$n=1$时

直接计算得：
$\left(1+\frac{1}{1}\right)^1 = 2 < 3$
不等式成立。

当$n \geq 2$时

将$(1+\frac{1}{n})^n$按二项式定理展开：
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^k}$
展开式中：

• 第一项：$\binom{n}{0} \cdot \frac{1}{n^0} = 1$
• 第二项：$\binom{n}{1} \cdot \frac{1}{n^1} = n \cdot \frac{1}{n} = 1$

对于$k \geq 2$的项，分析如下：
$\binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right)$
由于每个因子$\left(1 - \frac{i}{n}\right) \leq 1$，且当$k \geq 2$时：
$\binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{k(k-1)}$
（证明略，可通过数学归纳法或直接比较分子分母）

因此，展开式总和可估计为：
$\begin{aligned}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n &\leq 1 + 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} \\&= 2 + \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \\&= 2 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) \\&= 3 - \frac{1}{n} < 3\end{aligned}$