5.求证: ((1+dfrac {1)(n))}^nlt 3(n=1,2,... )

步骤 1：验证当 $n=1$ 时的不等式
当 $n=1$ 时，左边为 $(1+\dfrac{1}{1})^1 = 2$，显然 $2 < 3$，所以不等式成立。

步骤 2：使用二项式定理展开 $(1+\dfrac{1}{n})^n$
根据二项式定理，$(1+\dfrac{1}{n})^n$ 可以展开为：
$$(1+\dfrac{1}{n})^n = \sum_{k=0}^{n} {C}_{n}^{k} \cdot \dfrac{1}{n^k}$$
其中 ${C}_{n}^{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数。

步骤 3：估计每一项的大小
对于 $k \geq 2$，我们有：
$${C}_{n}^{k} \cdot \dfrac{1}{n^k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \dfrac{1}{n^k} \leq \dfrac{1}{k!}$$
因为 $n(n-1)\cdots(n-k+1) \leq n^k$，所以：
$${C}_{n}^{k} \cdot \dfrac{1}{n^k} \leq \dfrac{1}{k!}$$
进一步，我们有：
$$\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}$$
因为 $k! \geq 2^{k-1}$ 对于 $k \geq 2$ 成立。

步骤 4：求和并估计
因此，$(1+\dfrac{1}{n})^n$ 可以估计为：
$$(1+\dfrac{1}{n})^n = 1 + 1 + \sum_{k=2}^{n} {C}_{n}^{k} \cdot \dfrac{1}{n^k} \leq 2 + \sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{2^{k-1}}$$
注意到 $\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{2^{k-1}}$ 是一个等比数列的和，其和为：
$$\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{2^{k-1}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{2^{n-1}} = 1 - \dfrac{1}{2^{n-1}} < 1$$
所以：
$$(1+\dfrac{1}{n})^n < 2 + 1 = 3$$