7.当λ取何值时，非齐次线性方程组}x_(1)+x_(2)+x_(3)=1-x_(1)+2x_(2)-4x_(3)=22x_(1)+5x_(2)-x_(3)=lambda有解？在有解的情况下求方程组的通解.

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组有解的条件及通解的求法。
解题思路：

1. 判断方程组有解的条件：通过增广矩阵的初等行变换，分析秩的相等性。
2. 求通解：当方程组有解时，化简方程组，确定自由变量，写出特解和齐次解的组合。
   关键点：

• 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩是方程组有解的核心条件。
• 通解由特解和对应齐次方程组的基础解系组成。

步骤1：构造增广矩阵并化简

原方程组的增广矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\-1 & 2 & -4 & 2 \\2 & 5 & -1 & \lambda\end{pmatrix}$
通过初等行变换：

1. 第二行加第一行：$R_2 \leftarrow R_2 + R_1$，得第二行为 $[0, 3, -3, 3]$。
2. 第三行减2倍第一行：$R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1$，得第三行为 $[0, 3, -3, \lambda - 2]$。
3. 第三行减第二行：$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$，得第三行为 $[0, 0, 0, \lambda - 5]$。
   最终增广矩阵化简为：
   $\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 3 & -3 & 3 \\0 & 0 & 0 & \lambda - 5\end{pmatrix}$

步骤2：确定方程组有解的条件

系数矩阵的秩为2（前两行非零），增广矩阵的第三行若为 $[0, 0, 0, \lambda - 5]$，则当且仅当 $\lambda - 5 = 0$ 时，增广矩阵的秩也为2。因此，方程组有解的条件是 $\lambda = 5$。

步骤3：求通解

当 $\lambda = 5$ 时，方程组化简为：
$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\x_2 - x_3 = 1\end{cases}$

1. 求特解：令自由变量 $x_3 = 0$，解得 $x_2 = 1$，代入第一式得 $x_1 = 0$，特解为 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
2. 求齐次解：对应齐次方程组为：
   $\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 - x_3 = 0 \end{cases}$
   令 $x_3 = k$，则 $x_2 = k$，$x_1 = -2k$，基础解系为 $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
3. 通解：特解加齐次解，即：
   $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}$