设a、b、c为单位向量, 且满足a+b+c=0, 求a⋅b+b⋅c+c⋅a .

考查要点：本题主要考查向量的点积运算性质及代数变形能力。关键在于利用已知条件构造方程，通过展开平方和的形式求解。

解题核心思路：

1. 利用向量和为零的条件，将等式两边同时与自身点积，展开后得到关于点积的方程。
2. 结合单位向量的模长性质（即$a \cdot a = b \cdot b = c \cdot c = 1$），代入方程化简求解。

破题关键点：

• 点积的分配律：$(a + b + c) \cdot (a + b + c) = a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c + 2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$。
• 对称性：$a \cdot c = c \cdot a$，因此$a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c$与题目所求$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$等价。

1. 构造方程：
   已知$a + b + c = 0$，两边同时与自身点积：
   $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0.$

2. 展开平方和：
   根据点积的分配律，展开左边：
   $a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c + 2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) = 0.$

3. 代入单位向量模长：
   因为$a, b, c$是单位向量，所以$a \cdot a = b \cdot b = c \cdot c = 1$，代入得：
   $1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) = 0.$

4. 化简方程：
   合并常数项：
   $3 + 2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) = 0.$
   移项得：
   $a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c = -\frac{3}{2}.$

5. 对称性转换：
   由于$a \cdot c = c \cdot a$，所求表达式$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$与$a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c$相等，因此最终结果为$-\dfrac{3}{2}$。