题目
曲线 ) y=2x z=1-(x)^2 .
曲线
在点
处的切线和法平面下列正确的是：
A.切线
B.切线
C.法平面
D.法平面
题目解答
答案
由曲线方程可得该曲线的参数方程为：
，所以点为参数
所表示的点，从而有：
∴曲线在在点的切线的方向向量以及法平面的法向量为
∴切线为
法平面为
即
综上所述，答案选择A、C。
解析
步骤 1：确定曲线的参数方程
曲线$\left \{ \begin{matrix} y=2x\\ z=1-{x}^{2}\end{matrix} \right.$可以表示为参数方程$\left \{ \begin{matrix} x=t\\ y=2t\\ z=1-{t}^{2}\end{matrix} \right.$，其中$t$是参数。
步骤 2：确定点(1,2,0)对应的参数值
点(1,2,0)在曲线上的参数值为$t=1$，因为当$t=1$时，$x=1$，$y=2$，$z=0$。
步骤 3：计算曲线在点(1,2,0)处的切线方向向量
曲线在点(1,2,0)处的切线方向向量为$\overrightarrow {s}=(x',y',z')=(1,2,-2t)$，当$t=1$时，$\overrightarrow {s}=(1,2,-2)$。
步骤 4：写出切线方程
切线方程为$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-2}{2}=\dfrac {z-0}{-2}$。
步骤 5：计算法平面方程
法平面的法向量为$\overrightarrow {n}=(1,2,-2)$，法平面方程为$1\times (x-1)+2\times (y-2)+(-2)\times (z-0)=0$，即$x+2y-2z-5=0$。
曲线$\left \{ \begin{matrix} y=2x\\ z=1-{x}^{2}\end{matrix} \right.$可以表示为参数方程$\left \{ \begin{matrix} x=t\\ y=2t\\ z=1-{t}^{2}\end{matrix} \right.$，其中$t$是参数。
步骤 2：确定点(1,2,0)对应的参数值
点(1,2,0)在曲线上的参数值为$t=1$，因为当$t=1$时，$x=1$，$y=2$，$z=0$。
步骤 3：计算曲线在点(1,2,0)处的切线方向向量
曲线在点(1,2,0)处的切线方向向量为$\overrightarrow {s}=(x',y',z')=(1,2,-2t)$，当$t=1$时，$\overrightarrow {s}=(1,2,-2)$。
步骤 4：写出切线方程
切线方程为$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-2}{2}=\dfrac {z-0}{-2}$。
步骤 5：计算法平面方程
法平面的法向量为$\overrightarrow {n}=(1,2,-2)$，法平面方程为$1\times (x-1)+2\times (y-2)+(-2)\times (z-0)=0$，即$x+2y-2z-5=0$。